例題問題(2階線形微分方程式、特性方程式、ロンスキ行列式)

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参考 ( 2階線形微分方程式 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=R(x) を 『 2階線形微分方程式 』 という。

また、R(x)=0 ( 定数関数 ) である場合を 『 斉次 』 という。

つまり、2階線形微分方程式とは、正規形が y’ と y の1次式となる微分方程式である。

むろん、P(x) と Q(x) が定数である場合、これを 『 定数係数 』 と呼ぶ。

2階線形微分方程式は、機械系・物理・化学など、様々な分野で登場する。

参考 ( 解の存在と一意性〜線形微分方程式 )

(n)+P(x)y(n−1)+・・・+Pn−1(x)y’+P(x)y=Q(x) を n 階線形微分方程式とする。(★)

(x)、・・・、P(x)、Q(x) は、区間 I 上で連続であるとする。

次の初期条件があるとする。

(*) ある点 a∈I において y(a)=b、・・・、y(n−1)(a)=bn−1 である。

このとき、(★)の解が一意に存在して、(*)を満たす。

補足

一般の微分方程式の場合、解の存在と一意性は 『 リプシッツ連続性 』 によって保障される。

線形微分方程式の場合、リプシッツ条件は自動的に満たされる。

なので、リプシッツ条件を仮定する必要がない。

証明

証明は長くなるので省略する。

これの証明は初級者向けの参考書では省かれることが多い。

参考 ( 重ね合わせの原理 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を2階線形微分方程式とする。(★)

と y を(★)の解とする。

このとき、c+c ( c と c は定数 ) も(★)の解である。

補足

つまり、この定理は(★)の解全体がベクトル空間であることを意味する。

ただし、以下でベクトル空間の理論を使用するわけではない。

なので、ベクトル空間の知識がなくても支障はない。

証明

y=c+c とおく。

いま、y’’+Py’+Qy=c(y’’+Py’+Qy)+c(y’’+Py’+Qy)=0 である。

参考 ( 特性方程式 )

y’’+py’+qy=0 を斉次2階定数係数線形微分方程式とする。(★)

このとき、λ+pλ+q を 『 (★)の特性方程式 』 という。

参考 ( 斉次2階定数係数線形微分方程式の一般解〜その1 )

y’’+py’+qy=0 を斉次2階定数係数線形微分方程式とする。(★)

(★)の特性方程式が実数解αとβをもつとする。

このとき、(★)の一般解は次の形で表される。

(1) α≠β ⇒ y=cαx+cβx

(2) α=β ⇒ y=cαx+c(xeαx

補足

つまり、この定理は特性方程式が実数解をもつ場合に対する主張である。

特性方程式が複素数解をもつ場合については後で述べる。

証明

いま、0=y’’+py’+qy=y’’−(α+β)y’+αβy=(y’−αy)’−β(y’−αy) である。

ここで、u=y’−αy とおく。

いま、u’=βu である。

この一般解は、u=Ceβx である。

よって、y’−αy=Ceβx である。(★)

y=A(x)eαx とおく。(定数変化法)

これを(★)に代入すると、A’(x)=Ce(β−α)x である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、α≠β の場合について考える。

いま、A(x)=Ce(β−α)x/(β−α)+C である。

=C/(β−α)とおくと、y=A(x)eαx=Cαx+C(β−α)x である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、α=β の場合について考える。

いま、A’(x)=C であるから、A(x)=Cx+C である。

よって、y=A(x)eαx=(C+Cx)eαx=Cαx+Cxeαx である。

参考 ( 標準形 )

y’’+Q(x)y=0 を 『 標準形 』 という。

参考 ( 標準形の一般解 )

y’’=−qy を標準形の斉次2階定数係数線形微分方程式とする。(★)

その一般解は、次のように表される。

(1) q=λ>0 ⇒ y=ccos(λx)+csin(λx)

(2) q=−λ<0 ⇒ y=cλx+c−λx

(3) q=0 ⇒ y=cx+c

(1)の証明

q=λ>0 の場合について考える。

(★)の両辺に 2y’ を掛けると、2y’y’’=−λ2yy’ である。

よって、((y’))’=(−λ)’ である。

両辺を x で積分すると、(y’)=−λ+C である。

つまり、C=(y’)+λ≧0 である。

C=0 の場合、y=0 となる。

C>0 の場合について考える。

いま、C=k ( k>0 ) と表せる。

また、(y’)=k(1−(λy/k))である。

ここで、u=λy/k とおく。

いま、(u’)=λ(1−u) である。

よって、u’=±λ√(1−u) である。( これは変数分離形である )

いま、



よって、sin−1u=±λ(x+C) である。

よって、sin(±λ(x+C))=u である。

よって、y=±(k/λ)sin(λ(x+C)) である。

よって、y=±(k/λ)(sin(λx)cos(λC)+cos(λx)sin(λC)) である。

つまり、y=ccos(λx)+csin(λx) と表せる。

(2)の証明

(1)と同様である。

(3)の証明

明らかである。

参考 ( 斉次2階線形微分方程式は標準形に帰着できる )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を斉次2階線形微分方程式とする。(★)

ここで、y=exp(−∫P(x)dx/2)z とおく。( P(x)が定数 p である場合は、y=exp(−px/2)z でよい )

このとき、(★)は次のように表される。



むろん、P(x) が定数である場合は、P’の項が消える。

補足

つまり、斉次2階線形微分方程式を標準形に変形できる。

補足

既に標準形の一般解は示した。

よって、この定理により、斉次2階線形微分方程式が解ける。

証明

明らかである。

ただし、直接的に計算すると面倒である。

なので、u=e−∫Pdx/2 とおいて計算するとよい。

以下の補足も参照。

補足

上記の定理が成り立つことは明らかだが、内容が少し唐突であるかもしれない。

そこで、背景を説明する。

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を考える。(★)

これを変数変換で標準形に変形するにはどうすればよいか。

まず、y=u(x)z(x) とおく。

いま、y’=u’z+uz’、y’’=u’’z+2u’z’+uz’’ である。

これを(★)に代入すると、uz’’+(2u’+Pu)z’+(u’’+Pu’+Qu)z=0 である。

ここで、z’の係数が 0 になればよい。

つまり、u’=−P(x)u(x)/2 であればよい。

よって、u(x)=exp(−∫P(x)dx/2) とすればよい。

こうして定理の式が得られる。

参考 ( 斉次2階定数係数線形微分方程式の一般解〜その2 )

y’’+py’+qy=0 を斉次2階定数係数線形微分方程式とする。(★)

α、βを、(★)の特性方程式の解とする。

このとき、(★)の一般解は次のように表される。

(1) αとβが実数解でα≠β ⇒ y=cαx+cβx

(2) αとβが実数解でα=β ⇒ y=cαx+cxeαx

(3) α=a+bi、β=a−bi ⇒ y=eax(ccos(bx)+csin(bx)) である。

補足

既に、(1)と(2)は参考(斉次2階定数係数線形微分方程式の一般解〜その1)で示した。

ここでは(3)を示す。

(3)の証明

z=exp(−px/2)y とおく。

すると、(★)は z’’=(p/4−q)z となる。

( ただし、参考(標準形への帰着)と比較すると、符合は逆である )

また、z’’=(p/4−q)z=−bz である。

よって、この一般解は z=ccos(bx)+csin(bx) である。

一方、z=exp(−px/2)y=e−axy である。

よって、y=eax(ccos(bx)+csin(bx)) である。

参考 ( 斉次 n 階線形微分方程式の一般解 )

(n)+P(x)y(n−1)+・・・+Pn−1(x)y’+P(x)y=Q(x) を n 階線形微分方程式とする。

その特性方程式の解が次の n=m+・・・+m+2(n+・・・+n)個の解をもつとする。

(*1) 相異なる実数解 α、・・・、α ( α は m 重解 )

(*2) 相異なる複素解 p±qi、・・・、p±qi ( p+qi は n 重解 )

このとき、一般解は、

証明

これは2階線形微分方程式の場合の一般化である。

証明は省略する。

参考 ( 1次独立 )

f(x) と g(x) を、区間 I 上で定義された関数とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意の点 x∈I に対して af(x)+ag(x)=0 ならば、a=0 かつ a=0 である。

このとき、「 f と g は I 上で1次独立である 」 という。

上の(*)を次のように表現しても意味は同じである。

(**) I上で af+ag=0 ならば、a=0 かつ a=0 である。

この場合、af+ag=0 の右辺は零関数を意味する。

むろん、零関数とは、I上でつねに値 0 をとる関数である。

1次独立は線形代数の 『 ベクトル空間 』 に強く関連する。

ただし、以下の議論ではベクトル空間の知識は前提としない。

なので、ベクトル空間を知らない人は心配しなくてよい。

参考 ( 基本解 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を斉次2階線形微分方程式とする。(★)

と y を、(★)の解とする。

と y は1次独立であるとする。

このとき、組 { y、y } を 『 (★)の基本解 』 という。

参考 ( ロンスキアン )

f と g を、区間 I 上で定義された微分可能関数とする。

W(f、g)=fg’−f’g と定義する。

このとき、W(f、g) を 『 {f、g}のロンスキアン 』 という。

さらに詳しく、W[f、g](x)=f(x)g’(x)−f’(x)g(x) と表してもよい。

つまり、W(f、g) は I 上の関数である。

線形代数の行列式という概念を用いると、次のように表すこともできる。



このとき、W(f、g) を 『 ロンスキ行列式 』 という。

参考 ( W(y、y)≠0 ⇒ y と y は基本解 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を斉次2階線形微分方程式とする。(★)

と y を、(★)の解とする。

W(y、y)≠0 であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) y と y は1次独立である。( つまり、y と y は基本解 )

(2) (★)の一般解は、y=c+c である。

補足

つまり、斉次2階線形微分方程式の解空間は、2次元ベクトル空間である。

(1)の解答

+a=0 とおく。

いま、a’+a’=0 である。

つまり、a と a は次の連立1次方程式の解である。

(*1) y+y=0

(*2) y’a+y’a=0

いま、(*1)×y’−(*2)×y より、W(y、y)a=0 である。

また、(*1)×y’−(*2)×y より、W(y、y)a=0 である。

いま、仮定より、W(y、y)≠0 であるとする。

よって、a=0、a=0 である。

よって、y と y は1次独立である。

(2)の解答

を、(★)の任意の解とする。

いま、次が成り立つ。

(*1) y’’+P(x)y’+Q(x)y=0

(*2) y’’+P(x)y’+Q(x)y=0

(*3) y’’+P(x)y’+Q(x)y=0

いま、(*2)と(*3)より、(y’’y−y’’)+P(x)(y’y−y’)=0 である。

つまり、(y’y−y’)’+P(x)(y’y−y’)=0 である。

つまり、u’+P(x)u=0 ( u=y’y−y’ ) である。

よって、u=λexp(−∫P(x)dx) である。

つまり、y’y−y’=λexp(−∫P(x)dx)である。

同様に、y’y−y’=λexp(−∫P(x)dx)である。

同様に、y’y−y’=λexp(−∫P(x)dx)である。

よって、(λ+λ+λ)exp(−∫P(x)dx)=0 である。

また、W(y、y)≠0 より、λ≠0 である。

よって、y=−(λ)y−(λ)y である。

参考 ( 非斉次2階定数係数線形微分方程式の一般解 )

y’’+py’+qy=R(x) を定数係数線形微分方程式とする。(★1)

y’’+py’+qy=0 を、その斉次式とする。(★2)

を、(★1)の特殊解とし、y を(★2)の一般解とする。

このとき、(★1)の一般解は、y=y+y である。

証明

いま、y’’+py’+qy=(y’’+py’+qy)+(y’’+py’+qy)=R(x) である。

つまり、y は(★1)の解である。

また、y は2つの任意定数をもつ。

つまり、y は2つの任意定数をもつ。

つまり、y は(★1)の一般解である。

参考 ( 2階線形〜特殊解の発見法 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=R(x) を2階線形微分方程式とする。(★1)

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を、(★2)に付く斉次式とする。(★2)

と y を、(★2)の基本解とする。

このとき、次の y は(★1)の特殊解である。

証明

いま、(★2)の一般解は、y=c+c である。

ここで、y=A(x)y+A(x)y とおく。(定数変化法)

いま、y’=(A’+A’)+(A’y+A’y)である。

未知関数は A と A の2つであるから、等式がもう1つ必要である。

そこで、A’y+A’y=0 を仮定する。(★3)

( 1つの特殊解を求めたいだけなので、勝手に仮定してよい )

いま、y’=A’+A’ である。(★4)

よって、y’’=(A’’+A’’)+(A’y’+A’y’)である。(★5)

(★4)と(★5)を(★1)に代入して整理する。

すると、A(y’’+Py’+Qy)+A(y’’+Py’+Qy)+A’y’+A’y’=R(x)である。

と y は(★2)の解であるから、上式の第1項と第2項は 0 である。

よって、A’y’+A’y’=R(x)である。(★6)

(★3)と(★6)を改めてまとめると、



よって、次が成り立つ。(※クラメルの公式)



( むろん、クラメルの公式を知らない場合は普通に計算してよい )

よって、

参考 ( 2階斉次〜基本解のペアの発見法 )

y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 を斉次2階線形微分方程式とする。(★)

を、その解 ( ただし 0 でない ) とする。

ここで、次のように定める。



このとき、y と y は(★)の基本解である。

証明

(x)=y(x)u(x) とおく。

いま、y’=y’u+yu’ である。

また、y’’=y’’u+2y’u’+yu’’ である。

これらを(★)に代入して整理する。

すると、(y’’+Py’+Qy)u+yu’’+(2y’+Py)u’=0 である。

いま、y は(★)の解であるから、上式の第1項は 0 である。

つまり、yu’’+(2y’+Py)u’=0 である。

ここで、v(x)=u’(x) とおく。

いま、yv’+(2y’+Py)v=0 である。

これは変数分離形である。

これを解くと、logv=−2logy−∫Pdx である。

よって、v=y−2−∫Pdx である。

よって、u=∫y−2−∫Pdx である。

例題問題

次を解け。

(1) y’’+y’−6y=0

(2) y’’−4y’+4y=0

(3) y’’+4y=0

(4) y’’−6y’+13y=0

(5) y’’−y’−2y=e

(6) y’’−(2/x)y’+(2/x+4)y=4x ( x>0 )

(1)の解答

λ+λ−6=0 を特性方程式とする。

いま、λ=2、−3 である。

よって、一般解は、y=c2x+c−3x である。

(2)の解答

λ−4λ+4=0 を特性方程式とする。

いま、λ=2 ( 重解 ) である。

よって、一般解は、y=(c+cx)e2x である。

(3)の解答

λ+4=0 を特性方程式とする。

いま、λ=2i、−2i である。

よって、一般解は、y=ccos2x+csin2x である。

(4)の解答

λ−6λ+13=0 を特性方程式とする。

いま、λ=3+2i、3−2i である。

よって、一般解は、y=e3x(ccos2x+csin2x) である。

(5)の解答

y’’−y’−2y=0 を、問題の微分方程式に付く斉次式とする。(★1)

λ−λ−2=0 を、その特性方程式とする。

いま、λ=2、−1 である。

よって、y=e2x と y=e−x は(★1)の基本解である。

ここでは y を1つの特殊解として採用する。

問題の微分方程式の一般解を y=A(x)e2x とおく。(定数変化法)(★2)

両辺を x で微分すると、y’=(A’+2A)e2x である。(★3)

さらに、x で微分すると、y’’=(A’’+4A’+4A)e2x である。(★4)

(★2)〜(★4)を、問題の微分方程式に代入すると、(A’’+3A’)e2x=e である。

( これで、A の項を消去できた )

両辺を e2x で割ると、A’’+3A’=e−x である。

B(x)=A’(x) とおく。

いま、B’+3B=e−x である。

これは1階線形微分方程式 y’+Py=Q の形である。

よって、その一般解は、



両辺を x で積分すると、



よって、一般解は、

(6)の解答

P=−2/x、Q=2/x+4、R=4x とおく。

y=exp(−∫Pdx/2)z とおく。

いま、y=xz である。

また、問題の微分方程式は、z’’+4z=4 となる。(★)

z’’+4z=0 を(★)に付く斉次形とする。

λ+4=0 を、その特性方程式とする。

いま、λ=±2i である。

よって、(★)の一般解は、z=ccos2x+csin2x である。

一方、明らかに、(★)の特殊解として z=1 を採用できる。

( 参考(2階線形〜特殊解の発見法)を用いてもよいが、直観的に求めるだけで十分なことが多い )

( 特殊解は、定数、x、e、e−x、xλ、eλ の形をしていることが多い )

よって、(★)の一般解は、z=1+ccos2x+csin2x である。

よって、問題の一般解は、y=x(1+ccos2x+csin2x) である。