例題問題(ベクトル解析〜線積分)

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定義 ( 線積分 )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ(t)=(x(t)、y(t)、z(t)) とおく。

f(x、y、z) をスカラー場とする。

次のように定義する。



これらをまとめて次のように表す。



このとき、∫Γfdr を 『 Γに沿う線積分 』 という。

定義 ( パラメータによる線積分 )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ(t)=(x(t)、y(t)、z(t)) とおく。

f(x、y、z) をスカラー場とする。

このとき、次のように定義する。

とくに、パラメータが曲線の長さ s で与えられるとき、

定義 ( ベクトル場における接線線積分 )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ(t)=(x(t)、y(t)、z(t)) とおく。

f(r)=(f(r)、f(r)、f(r)) をベクトル場とする。

このとき、次のように定義する。

上式右辺は定義(線積分)に基づいていることに注意。

f(r) は f(x、y、z) の略記である。

例題問題

Γ:[0、2π]→ を Γ(t)=(acost、asint、ht) で定める。

ただし、a、h>0 であるとする。

f(x、y、z)=z と定める。

g(x、y、z)=(z、x、0) とおく。

このとき、次を求めよ。

(1)の解答

計算すると、

(2)の解答

計算すると、