例題問題(線形写像)

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例題問題

次の写像が線形写像であるか否か判定せよ。

(1)の解答

a=(x、y)、b=(x、y)∈ とおく。

λをスカラーとする。

いま、



また、



よって、f は線形写像である。

(2)の解答

a=(x、y、z)、b=(x、y、z)∈ とおく。

λをスカラーとする。

いま、



また、



よって、f は線形写像である。

(3)の解答

いま、



また、



よって、f は線形写像である。

例題問題

次の写像が線形写像であるか否か判定せよ。

補足

解答は2通り用意した。

解答〜その1

a=(1、1) とおく。

いま、



よって、f は線形写像ではない。

解答〜その2

いま、



よって、f は線形写像ではない。

例題問題

次の写像が線形写像であるか否か判定せよ。

解答

a=(1、1) とおく。

いま、



よって、f は線形写像ではない。

例題問題

次の線形写像を求めよ。

補足

中学において2点を通る1次関数を求める類の問題は基本的であろう。

今回の問題はそれの一般化である。

(1)の解答

{ e、e } を の自然基底とする。

いま、



よって、



よって、

(2)の解答

{ e、e、e } を の自然基底とする。

いま、



よって、



よって、

(3)の解答

{ e、e } を の自然基底とする。

いま、



よって、



よって、

例題問題

次のように定義する。



このとき、次の合成写像を求めよ。

(1)〜(4)の解答

例題問題

次のように定める。



(1) f が線形写像であることを示せ。

(2) f が全単射であることを示せ。

補足

つまり、f は同型写像である。

補足

2×2) は2次実行列全体を意味する。

(1)の解答

A=(aij)、B=(bij)∈M2×2) とおく。

λとμをスカラーとする。



よって、f は線形写像である。

(2)の解答

f(A)=f(B) とする。

いま、(a11、a12、a21、a22)=(b11、b12、b21、b22) である。

よって、a11=b11、a12=b12、a21=b21、a22=b22 である。

よって、A=B である。

よって、f は単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

y=(a、b、c、d)∈ とおく。

ここで、行列 A を次のようにおく。



いま、f(A)=y である。

よって、f は全射である。

例題問題

次のように定める。



(1) Imf の次元と基底を求めよ。

(2) Kerf の次元と基底を求めよ。

(1)の解答

次のようにおく。



行基本変形を行うと、



よって、dimImf=rankA=3 である。

また、上の変形より、1列、2列、3列が1次独立であることも分かる。

つまり、(1、3、1)、(0、3、1)、(3、1、0) は Imf の基底である。

(2)の解答

いま、



よって、Kerf の次元は 1 である。

また、(10、−9、−4、1) は Kerf の基底である。

例題問題

次のように定める。



(1) 自然基底に関する f の表現行列を求めよ。

(2) 基底 { (1、−1)、(−1、2) } に関する f の表現行列を求めよ。

(3) f の逆変換を求めよ。

(1)の解答

A=(aij) を自然基底に関する f の表現行列とする。

{ e、e } を の自然基底とする。

いま、f(e)=a11+a21 である。

また、f(e)=a12+a22 である。

よって、(1、2)=(a11、a21)、(−1、−1)=(a12、a22) である。

よって、

(2)の解答

A=(aij) を、{ (1、−1)、(−1、2) } に関する f の表現行列とする。

(1、−1)、v(−1、2) とおく。

いま、f(v)=a11+a21 である。

また、f(v)=a12+a22 である。

よって、(2、3)=(a11−a21、−a11+2a21)、(−3、−4)=(a12−a22、−a12+2a22) である。

よって、

(3)の解答

A を(1)で求めた行列とする。

いま、



また、A−1 は f−1 の表現行列である。

よって、



よって、

例題問題

の2組の基底 E と F を次のように定める。



(1) E から F への基底変換行列を求めよ。

(2) F から E への基底変換行列を求めよ。

(1)の解答

いま、



よって、E から F への基底変換行列は、

(2)の解答

P を E から F への基底変換行列とする。

つまり、P は(1)で求めた行列である。

Q を F から E への基底変換行列とする。

いま、