例題問題(行列の対角化)

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参考 ( 代数的重複度 )

A を n 次実行列とする。

(x)を A の固有多項式とする。

実数の範囲で F(x)=(x−λ)・・・(x−λ) と表せたとする。( r≦n )(★)

いま、λ、・・・、λ は重複している可能性がある。

そこで、この中から相異なるものを取り出してμ、・・・、μ とする。

つまり、{ μ、・・・、μ }={ λ、・・・、λ } である。

いま、F(x)=(x−μ・・・(x−μ と表せる。

このとき、m を 『 λ の代数的重複度 』 という。

むろん、m+・・・+m=r である。

(★)について補足

A が複素行列である場合、固有多項式は複素数の範囲で F(x)=(x−λ)・・・(x−λ) と展開できる。

つまり、複素行列は必ず 『 n 個 』 の固有値をもつ。( むろん、重複は認める )

参考 ( 幾何的重複度 )

A を n 次実行列とする。

λ∈ を A の固有値とする。

W(λ)={ x∈|Ax=λx } と定義する。

明らかに、W(λ)は V の部分空間である。(★)

このとき、W(λ) を 『 λに付く ( A の ) 固有空間 』 という。

また、dimW(λ) を 『 λの幾何的重複度 』 という。

(★)の証明

x、y∈W(λ) とおく。

いま、Ax=λx、Ay=λy である。

よって、A(x+y)=Ax+Ay=λx+λy=λ(x+y)である。

また、A(kx)=kAx=kλx=λ(kx)である。

よって、x+y、kx∈W(λ)である。

よって、W(λ)は V の部分空間である。

参考 ( 行列の対角化に対する同値条件 )

A を n 次実行列とする。

A は ( 重複を含めて ) n 個の固有値をもつとする。(★)

λ、・・・、λ を、A の相異なる固有値とする。

このとき、次は同値である。

(1) A は対角化可能である。

(2) 任意の k=1、・・・、r に対し、λ の代数的重複度と幾何的重複度は一致する。

補足

A が複素行列である場合、条件(★)は自動的に満たされる。

例題問題

次の行列を対角化せよ。

解答

いま、det(A−λI)=−(λ+2)(λ−1) である。

よって、A の固有値は、−2 と 1 である。

W(−2) を、固有値 −2 に付く固有空間とする。

W(1) を、固有値 1 に付く固有空間とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v=(x、y、z)∈W(−2) とおく。

いま、Av=−2v である。

つまり、(A+2I)v=0 である。

よって、(x、y、z)=(−c−c、c、c) である。

よって、{ (−1、1、0)、(−1、0、1) } を W(−2) の基底として採用できる。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

v=(x、y、z)∈W(1) とおく。

いま、Av=v である。

つまり、(A−I)v=0 である。

よって、(x、y、z)=(c、c、c) である。

よって、{ (1、1、1) } を W(1) の基底として採用できる。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)と(★2)で得られたベクトルを並べて P と表す。

つまり、



いま、



よって、

補足

実は、線形代数では次の定理が知られている。

(*) 実対称行列は直交行列によって対角化できる。

今回の行列は実対称行列なので、この定理を適用できる。

また、直交行列は、上の証明で得た固有空間の基底を正規直交化するだけで得られる。

以下、実際にやってみよう。

まず、(★1)と(★2)で得たベクトルを a、a、a と表す。

つまり、a(−1、1、0)、a(−1、0、1)、a(1、1、1) である。

まず、W(−2) の基底 { a、a } を次のように正規直交化する。(※シュミットの正規直交化)



次に、W(1) の基底 { a } を正規化する。(※この基底は1つのベクトルのみだから、単なる正規化でよい)



次のようにおく。



( この P は直交行列であるから、P−1P である )

いま、

例題問題

次の行列 A が対角化可能であるか否か判定せよ。

解答

det(A−λI)=−λ である。

よって、A の固有値は 0 のみである。

また、0 の代数的重複度は 3 である。

W(0) を 0 に付く固有空間とする。

x=(x、x、x)∈W を、固有値 0 に付く固有ベクトルとする。

いま、Ax=0 である。

よって、x=(c、0、0) である。

よって、W(0) の次元は 1 である。

よって、0 の幾何的重複度は 1 である。

よって、0 の代数的重複度と幾何的重複度は異なる。

よって、A は対角化可能ではない。