例題問題(テイラー展開、マクローリン展開)

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参考 ( 1変数のテイラー展開 )

f(x) が a と b を含む区間で n 回微分可能であるとする。

このとき、f は次の形で表せる。



これを 『 f のテイラー展開 』 という。

とくに、limn→∞=0 であるとき、次のように表せる。( むろん、関数は無限回微分可能であるとする )



さらに、b を任意に動かすと、次のように表せる。



これを 『 f の ( a を中心とする ) テイラー級数 』 という。

とくに、a=0 である場合、テイラー級数を 『 マクローリン級数 』 という。

テイラー展開について、n=1 の場合を考えると、f(b)=f(a)+(b−a)f’(a) である。

これは 『 平均値の定理 』 と同じ式である。

つまり、テイラー展開は平均値の定理の一般化である。

参考 ( 2変数のテイラー展開 )

f(x、y) を2変数関数とする。

そのテイラー展開は、



n+1 は 『 剰余項 』 と呼ばれる。

定数 θ の存在は 『 平均値の定理 』 または 『 ロルの定理 』 によって示される。

よく知られているように、1変数テイラー展開の場合にも剰余項はある。

ただし、1変数の場合はランダウ記号 o(x) で代用した。

2変数テイラー展開の場合は剰余項 Rn+1 でそのまま表すことにする。

例題問題

次の関数をマクローリン展開せよ。

(1) e

(2) sinx

(3) cosx

(1)の解答

(2)の解答

(3)の解答

例題問題

次の関数のマクローリン展開を0でない初めの3項まで求めよ。

(1) sin(x/2)

(2) cos2x

(3) e3x

(4) esinx

(5) esinx

(1)の解答

(2)の解答

(3)の解答

(4)の解答

まず、y=sinx=x−(1/6)x+o(x) である。

よって、

(5)の解答

例題問題

次の関数をマクローリン展開せよ。

(1) 1/(1−x)

(2) 1/(1+x)

(1)の解答

(2)の解答

例題問題

次の関数をマクローリン展開せよ。

(1) log(1+x)

(2) (1+x)α ( αは実定数 )

(1)の解答

(2)の解答

例題問題

次を示せ。

解答

sinx のマクローリン展開より、



よって、

補足

ロピタルの定理を用いてもよい。

ただし、マクローリン展開の方が応用が広い。

例題問題

次の関数についてマクローリン展開を3次の項まで求めよ。

(1) e−xsiny

(2) eaxcosby

(1)の解答

(2)の解答

例題問題

次の関数についてテイラー展開を2次の項まで求めよ。

(1) f(x、y)=2x−xy+y

(2) f(x、y)=x

(3) log(x+y)

補足

むろん、f(x、y)=2x−xy+y をマクローリン展開すると、f(x、y) 自身となる。

このことは以下の解答で (h、k)=(0、0) とすれば分かる。

(1)の解答

(2)の解答

(3)の解答