例題問題(電磁気学〜静磁場、アンペールの法則、ビオ-サヴァールの法則)

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参考 ( アンペールの法則 )

閉曲線 C を縁としてもつ面 S を貫く電流密度を i とする。

このとき、次が成り立つ。



むろん、次のように表しても意味は同じである。



これを 『 アンペールの法則 』 という。

・dr は線積分である。

線積分の表記は本によって異なる。

例えば、線積分について次はいずれも同じ意味である。



dr は位置の微小変位を意味する。

ds は線素を意味するニュアンスがある。( 小文字のエル l を用いることも多い )

・ndS は面積分である。

面積分の表記は本によって異なる。

例えば、面積分について次はいずれも同じ意味である。



dσは面素を意味するニュアンスがある。

閉曲線 C に囲まれた面を貫く全電流を I とすると、I=∫・ndσ である。

よって、アンペールの法則を次のように表すこともできる。

参考 ( 実は、線積分と面積分を計算する機会は少ない )

既に確認したように、アンペールの法則は∫B・dr=μ∫i・ndS である。(★)

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まず、(★)の左辺に注目する。

この∫B・dr は磁場 B と閉曲線 C の内積をとりながら積分することを意味する。

ただし、入門では B と C が同じ向きをもつ問題を考えることが多い。

ゆえに、実際に内積を計算する機会は少ないかもしれない。

例えば、よく知られているように、直線電流から成る磁力線は直線を軸とする同心円を描く。

ここで、同じように直線を軸とする円形の周回経路 C ( 半径 r ) を考える。

いま、B と 周回経路は同じ向きである。

よって、∫B・dr=2πr|B|=2πrB である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、(★)の右辺に注目しよう。

この ∫i・ndS の n は曲面 S の単位法ベクトルを意味する。

つまり、∫i・ndS は i の ( S上での ) 法成分を抜き出して積分することを意味する。

ただし、入門では面 S が平らで i と n が同じ向きをもつ問題を考えることが多い。

例えば、円柱状導線に一様な電流密度 i で電流が流れているとする。

円柱の断面の半径を r とすると、∫i・ndS=2πri である。

例題問題

無限に長い円柱状導体を考える。

円柱の中心軸を z 軸とする。

円形断面の半径を a とする。

このような導体に一様な電流密度 i で z 軸方向に電流 I を流す。

磁束密度 B を z 軸からの距離 r の関数として表せ。

解答

は z 軸まわりの方位角成分のみをもつとしてよい。(※対称性)

つまり、磁力線は z 軸を中心軸とする同心円を描く。

そこで、z軸を中心とする半径 r の円周を C と表す。

円 C に囲まれる面を S とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、r<a の場合について考える。

いま、∫・dr=2πrB である。

また、μ∫i・ndS=μπri である。

よって、2πrB=μπri である。(※アンペールの法則)

よって、B=μIr/(2πa)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、r>a の場合について考える。

いま、∫・dr=2πaB である。

また、μ∫i・ndS=μπai=μI である。

よって、2πaB=μI である。(※アンペールの法則)

よって、B=μI/(2πa) である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)と(★2)は r=a で一致する。

例題問題

半径 a の円周を電流 I が流れているとする。

この電流が円周の中心につくる電場の強さを求めよ。

解答

電流に沿う線素を ds とおく。

位置 r’ における線素を ds’ と表す。

円周の中心の位置ベクトルを r と表す。



円周の中心における磁場の強さは次のように計算される。(※ビオ-サヴァールの法則)

例題問題

半径 a の円周を電流 I が流れているとする。

この電流が円周の中心につくる磁場の強さを求めよ。

解答

円の中心を原点とする。

中心軸を z 軸とする。

電流に沿う線素を ds とおく。

位置 r’ における線素を ds’ と表す。



いま、ds’×(r −r’ ) の z 成分は ads’ である。

また、ds’ ×(r −r’ ) の z 軸に垂直な成分を円に沿って積分すると 0 になる。

よって、次のように計算できる。(※ビオ-サヴァールの法則)

例題問題

直線電流 I から成る電場の強さを求めよ。

解答

直線電流を中心とする半径 r の円を考える。

いま、



よって、B=μI/(2πr) である。(※アンペールの法則)

例題問題

導線を円筒状に巻いたものをソレノイドという。

単位長さあたり n 回だけ巻かれたソレノイドを考える。

このソレノイドは無限に長いとする。

このソレノイドに電流 I を流す。

ソレノイド内外の磁場の強さを求めよ。

解答

磁場はソレノイドの軸に垂直な成分をもたないとしてよい。(※対称性)

ソレノイドの軸の一部を含む長方形積分経路を考える。(下図)



この積分経路を貫く電流は naI である。

また、



よって、a(Bin)+a(Bout)=naI である。(※アンペールの法則)(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ソレノイドから十分離れた点では B=0 としてよい。

ここで、ソレノイドと平行に長方形積分経路 ABCD をとる。(下図)



この積分経路を貫く電流は存在しない。

よって、



いま、経路 AB は点 P を含むので、経路 AB において B=0 である。

経路 BC と DA はソレノイドの中心軸に垂直なので B・ds=0 である。

よって、(*)より、経路 DC において B=0 である。

つまり、Bout=0 である。(★2)

(★1)、(★2)より、Bin=nμI である。

例題問題

単位長さあたり n 回だけ巻かれたソレノイドを考える。

このソレノイドの内部には鉄心(透磁率μ)が詰められているとする。

このソレノイドは無限に長いとする。

このソレノイドに電流 I を流す。

ソレノイド内外の磁場の強さを求めよ。

解答

前問と同様の議論により、a(Bin/μ)+a(Bout)=naI である。

前問と同様に、Bout=0 である。

よって、Bin=nμI である。

例題問題 ( 円環状ソレノイド )

円環状(トーラス状)コイルを考える。

円環の中心軸を z 軸とする。

円環の断面の中心と z 軸との距離を R とする。

つまり、円環の平均半径は R であるとする。

このようなコイルに導線を N 回だけ巻き、電流 I を流す。

このコイルから成る磁場を求めよ。

補足

図示すると、

解答

このようなコイルから成る磁場は z 軸を中心軸とする同心円を描く。(※対称性)

そこで、円環の中心と同じ中心をもつ円形の周回経路を考える。

いま、次の場合が考えられる。

(*1) 周回経路が円環より内側にある。

(*2) 周回経路が円環より外側にある。

(*3) 周回経路が円環より内部にある。

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まず、(*1)について考える。

いま、周回経路を縁とする面を貫く電流は 0 である。

よって、円環の内側に磁場は存在しない。

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(*2)について考える。

いま、周回経路を縁とする面を貫く電流は正味で 0 である。

よって、円環の外側に磁場は存在しない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*3)について考える。

いま、周回経路に囲まれる面を貫く電流は NI である。

つまり、



また、



よって、2πRH=NI である。(※アンペールの法則)

つまり、H=NI/(2πR) である。

補足

B=μH=μNI/(2πR) と答えてもよい。

むろん、コイル内部に透磁率μの鉄心が詰められている場合は B=μNI/(2πR) である。