例題問題(条件付き極値)

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参考 ( ラグランジュの乗数法 )

f(x、y)、g(x、y) は連続な偏導関数をもつとする。

条件 g(x、y)=0 下で f(x、y) が点 (a、b) で極値をもつとする。

(a、b) と g(a、b) の少なくとも一方は 0 でないとする。

このとき、ある定数 λ が存在して、次を満たす。

(*1) f(a、b)−λg(a、b)=0

(*2) f(a、b)−λg(a、b)=0

条件(*1)と(*2)を満たす点(a、b)で f が極値をとるとは限らないことに注意。

これらの条件は f が極値となる候補点を求める。

条件(*1)、(*2)は次のように書いてもよい。

(**1) f(a、b)+λg(a、b)=0

(**2) f(a、b)+λg(a、b)=0

例題問題

f(x、y)=x+y+1 と定める。

(1) f が条件 x+y=1 下で極値をとる候補点を求めよ。

(2) f の最大値・最小値を求めよ。

(1)の解答

g(x、y)=x+y−1 とおく。

いま、条件は g(x、y)=0 と表される。

F(x、y)=f(x、y)−λg(x、y) とおく。

f(x、y) が極値となる点(x、y)は次を満たす。(※ラグランジュの乗数法)

(*0) x+y=1

(*1) F=0

(*2) F=0

つまり、

(**0) x+y=1

(**1) x=1/2λ

(**2) y=1/2λ

よって、(1/2λ)+(1/2λ)−1=0 である。

よって、λ=±2−1/2 である。

よって、f が極値となる点(x、y)の候補点は(x、y)=(±2−1/2、±1/2−1/2) である。

(2)の解答

条件 x+y=1 は有界閉集合である。

よって、f(x、y) は条件 x+y=1 下で最大値・最小値をもつ。(※最大値・最小値の定理)

また、(1)より、f(x、y) が極値をとる候補点は2つのみである。

よって、(1)で求めた点において f は最大値・最小値をとる。

よって、

最大値 : 1+21/2 (2−1/2、2−1/2

最小値 : 1−21/2 (−2−1/2、−2−1/2

参考 ( 高校数学の有名問題 )

+y=1 のとき、3x+4y の最大値を求めよ。

解答

高校数学でよく知られている解法を用いる。

k=3x+4y とおく。

この直線が x+y=1 で接するとき、k は最大である。



+y=1 の両辺を x で微分すると、2x+2yy’=0 である。

よって、y’=−x/y である。

頂点を (a、b) とする。

いま、 a+b=1、−a/b=−3/4 である。

よって、(a、b)=(±3/5、±4/5) である。

よって、(x、y)=(3/5、4/5) のとき、3x+4y は最大値 5 をとる。

例題問題

点(x、y)から直線 ax+by+c=0 までの最短距離を求めよ。

また、それを与える直線上の点(x、y)を求めよ。

解答

条件 ax+by+c=0 下で f(x、y)=√((x−x+(x−x) の最小値を考えればよい。

g(x、y)=ax+by+c とおく。

いま、条件は g(x、y)=0 と表される。

F(x、y、λ)=f(x、y)+λg(x、y) とおく。

f(x、y) が極値となる点(x、y)は次を満たす。(※ラグランジュの乗数法)

(*0) ax+by+c=0

(*1) F=0

(*2) F=0

つまり、

(**0) ax+by+c=0

(**1) 2(x−x)+λa=0

(**2) 2(y−y)+λb=0

よって、a(x−λa/2)+b(y−λb/2)+c=0 である。

よって、λ=−2(ax+by+c)/(a+b) である。

よって、最短距離を実現する直線上の点は、



また、最短距離は、|ax+by+c|/√(a+b) である。

例題問題

(1) 表面積が一定である直方体で、体積が最大となるのは立方体であることを示せ。

(2) 体積が一定である直方体で、表面積が最小となるのは立方体であることを示せ。

(1)の解答

直方体の辺の長さを x、y、z とする。

条件 xy+yz+zx=k ( 定数 ) 下で、x、y、z の最大値を求めればよい。

f(x、y、z)=xyz とおく。

g(x、y、z)=xy+yz+zx−k とおく。

いま、条件は g(x、y、z)=0 と表される。

F(x、y、z、λ)=f(x、y、z)−λg(x、y、z) とおく。

f(x、y、z) が極値となる点(x、y、z)は次を満たす。(※ラグランジュの乗数法)

(*0) xy+yz+zx=k

(*1) F=0

(*2) F=0

(*3) F=0

つまり、

(**0) xy+yz+zx=k

(**1) yz−λ(y+z)=0

(**2) xz−λ(x+z)=0

(**3) xy−λ(y+x)=0

よって、λ=yz/(y+z)、λ=xz/(x+z)、λ=xy/(x+y) である。

yz/(y+z)=xz/(x+z) より、x=y である。

xz/(x+z)=xy/(y+x) より、y=z である。

以上により、体積が最大となるのは x=y=z のときである。

(2)の解答

F(x、y、z、λ)=2(xy+yz+zx)−λxyz とおく。

これを解くと、x=y=z である。