2面体群

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定義 ( Isom )

をユークリッド空間とする。

つまり、x=(x、x)、y=(y、y)∈ に対し、次のような距離 d が定義されている。

(*) d(x、y)=((x−y+(x−y1/2

f: を線形変換とする。

任意の x、y∈ に対し、d(x、y)=d(f(x)、f(y))であるとする。

このとき、f を 『 等長変換 』 という。

の等長変換全体を Isom()と表す。

明らかに、Isom()は群である。

定義 ( Sym )

F を における図形とする。

F をそれ自身に写す等長変換全体を Sym(F) と表す。

明らかに、Sym(F) は Isom() の部分群である。

Sym は 『 シンメトリー(対称性) 』 の略である。

定義 ( 2面体群 )

における正 n 角形とする。

このとき、Sym(T) を D と表す。

この D を 『 2面体群 』 という。

つまり、2面体群とは、正 n 角形を自身に写す変換全体であって、非常にシンプルな概念である。

参考 ( 2面体群のもう少し直観的な定義 )

n≧3 を自然数とする。

を正 n 角形とする。

X={ P、・・・、P } を T の頂点全体とする。

を T 自身へ重ね合わせる操作(回転と反転)を考える。

これは X から X への全単射であり、T の任意の2点間の距離を変えない。

このような写像を 『 T の合同変換 』 という。

の合同変換全体を D と表す。

明らかに、D は S の部分群である。

このとき、D を 『 2面体群 』 という。

むろん、上の定義では { P、・・・、P } と {1、・・・、n} を同一視している。

D16

を2面体群とする。

σを、正3角形の中心を垂直に通る軸に関する反時計回りの 2π/3 回転とする。

τ を、頂点 P と正3角形の中心を通る直線 L に関するπ回転とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 6個の回転対称性をもつ。

(2) 6個の回転対称性はσとτ によって生成される。

(3) 6個の回転対称性は群をなす。

(1)の証明

σ、σ、τ、τ、τ、1 である。

(2)の証明

τ : τ

τ : στ

τ : στ

σ : σ

σ: σ

1 : 1

このように、τ、τ、τ、σ、σ、1 はσとτ の組み合わせで再現できる。

(3)の証明

簡単のため、τ を τ と表す。

(2)より、6個の回転対称性は次のように表せる。

(*) e、σ、σ、τ、στ、στ

これらは下表のように群をなす。



ただし、積 xy は行 x と列 y の交差点に置かれる。

例えば、○で囲まれた要素は (στ)τ を意味する。

D17 ( D16の一般化 )

の元は次の形で表される。

(*) e、σ、・・・、σn−1、τ、στ、・・・、σn−1τ

ただし、σは板に垂直な対象軸に関する 2π/n 回転である。

また、τは正 n 角形と平行な対称軸のπ回転である。

とくに、τσ=σ−1τ が成り立つ。

証明

明らかに、

(*1) σ=1

(*2) τ=1

(*3) τσ=σn−1τ

(*4) σn−1=σ−1

(*5) τσ=σ−1τ

とくに、(*5)が重要である。

これはすべての積を(*)によって生成できることを意味する。

例えば、τσ は(*)にはない。

しかし、(*5)より、τσ=τσσ=σ−1τσ=σ−2τ=σn−2τである。

D18

は D と同型な部分群をもつ。

証明

の元は次の形で表される。(※D17)

(*1) e、σ、・・・、σ、τ、στ、・・・、στ

ここで、(*1)の中で次の元に注目する。

(*2) e、σ、σ、τ、στ、στ

明らかに、(*2)は D の演算に関して群である。

明らかに、(*2)は D の元と同型である。

図形的には、これは正6角形の板に内接した正3角形の回転対称性を意味する。