有限アーベル群の構造定理

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参考

このページでは 『 有限アーベル群の構造定理 』 を紹介する。

証明は長くなるので省略する。

また、整数論などを目的としない限り、初学の段階でその証明を理解する必要もないであろう。

その代わり、有限アーベル群の構造定理に対する理解を深めるために応用を扱う。

C14 ( 有限アーベル群の構造定理〜その1 )

G を有限アーベル群とする。

このとき、自然数の組 ( e、・・・、e ) が存在して、次を満たす。

(1) G と /e×・・・×/e は同型である。

(2) 1≦i≦m に対して e≧2 である。

(3) 2≦i≦m に対して e|ei−1 である。

(4) ( e、・・・、e ) は一意である。

補足

( e、・・・、e ) を 『 G の単因子 』 という。

証明

省略する。

C15 ( 有限アーベル群の構造定理〜その2 )

G を有限アーベル群とする。

このとき、素数巾の組 ( p、・・・、p ) が存在して、次を満たす。

(1) G と /p×・・・×/p は同型である。

(2) 1≦i≦m に対して a≧1 である。

(3) p、・・・、p や a、・・・、a は重複してよい。

(4) ( p、・・・、p ) は順序を除いて一意である。

証明

省略する。

C16

G を有限アーベル群とする。

G の任意の p シロー部分群は巡回群であるとする。

このとき、G は巡回群である。

証明

|G|の素因数分解を|G|=p・・・p とする。

を位数 p の部分群とする。

いま、G と P×・・・×P は同型である。(※有限アーベル群の構造定理〜その2)

また、P は位数 p の巡回群である。

よって、G は位数 p・・・p の巡回群である。(※中国式剰余定理)