群の対応原理、第1同型定理〜第3同型定理

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参考

このページでは準同型定理の応用を述べる。

ただし、これらの内容は後の理解に必須ではない。

なので、このページを読まなくても、後の理解に大きな影響は出ない。

S1 ( 群の対応原理 )

G を群とする。

N を G の正規部分群とする。

π:G→G/N を自然な準同型写像とする。

X={ K|K は G/N の部分群 } とおく。

Y={ H|H は G の部分群で、N を含む } とおく。

f:X→Y を f(K)=π−1(K)で定義する。

このとき、f は全単射である。

補足

つまり、「 G/N は部分群 」 と 「 N を含む G の部分群 」 は1対1で対応する。

証明

まず、f が定義可能であることを確認する。

K を G/N の部分群とする。

x∈N とおく。

いま、π(x)=xN=N=1G/N∈K である。

よって、x∈π−1(K)である。

よって、N⊂π−1(K)である。

よって、f は定義可能である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f が全射であることを示す。

H∈Y とおく。

いま、N は H の正規部分群でもある。

よって、剰余群 H/N を考えることができる。

I:H→G を包含写像とする。( つまり H 上の恒等写像である )

いま、π*I:H→G/N である。

また、N=Ker(π*I)である。

よって、単射な準同型写像φ:H/N→G/N が存在する。(※準同型定理)

ここで、K=Imφとおく。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

h∈H とおく。

いま、π(h)=π*I(h)=φ(hN)∈K である。

よって、H⊂π−1(K)である。(★1)

x∈π−1(K)とおく。

いま、xN=π(x)∈K=Imφである。

よって、ある hN∈H/N が存在して、φ(hN)=xN となる。

一方、φ(hN)=hN∈G/N である。

よって、hN=xN である。

よって、ある n∈N が存在して、x=hn と表せる。

一方、N⊂H である。

よって、x∈H である。

よって、π−1(K)⊂H である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、π−1(K)=H である。

よって、f(K)=H である。

よって、f は全射である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f が単射であることを示す。

、K∈X とおく。

f(K)=f(K)と仮定する。

いま、π−1(K)=π−1(K)である。

両辺をπで写すと、K=K である。

よって、f は単射である。(★4)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★3)、(★4)より、f は全単射である。

S2 ( 第1同型定理 )

G、G’を群とする。

f:G→G’を全射な準同型写像とする。

N を G’の正規部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f−1(N) は G の正規部分群である。

(2) G/f−1(N) と G’/N は同型である。

(1)の証明

明らかに、f−1(N) は G の部分群である。

x∈f−1(N)、g∈G とおく。

いま、f(x)∈N である。

また、f(gxg−1)=f(g)f(x)f(g)−1∈N である。

つまり、gxg−1∈f−1(N)である。

よって、f−1(N)は正規部分群である。

(2)の証明

π:G’→G’/N を自然な準同型写像とする。

いま、π*f:G→G’/N である。

f とπは全射であるから、π*f も全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈f−1(N)とおく。

いま、π*f(x)=π(f(x))=f(x)N=N である。

つまり、f−1(N)⊂Ker(π*f)である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈Ker(π*f)とおく。

いま、f(x)N=π(f(x))=π*f(x)=N である。

よって、f(x)∈N である。

よって、x∈f−1(N)である。

よって、Ker(π*f)⊂f−1(N)である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、Ker(π*f)=f−1(N)である。

よって、G/f−1(N) と G’/N は同型である。(※準同型定理)

S3 ( 第2同型定理 )

G を群とする。

H を G の部分群とする。

N を G の正規部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) HN は G の部分群であり、HN=NH である。

(2) H/H∩N と HN/N は同型である。

(1)の証明

いま、1∈H、1∈N である。

よって、1=1∈HN である。

、h∈H とおく。

、n∈N とおく。

いま、N は正規部分群である。

よって、h∈hNhN=hNN⊂HN である。

つまり、HN は積について閉じている。(★1)

h∈H、n∈N とおく。

いま、(hn)−1=n−1−1∈Nh=hN⊂HN である。

つまり、HN は逆元について閉じている。(★2)

(★1)、(★2)より、HN は G の部分群である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

h∈H とおく。

N は正規部分群であるから、hN=Nh である。

つまり、HN=NH である。

(2)の証明

I:H→HN を包含写像とする。( つまり H 上の恒等写像 )

いま、I は単射である。

π:H→HN/N を自然な準同型写像とする。

xN∈HN/N とおく。

いま、x=hn ( h∈H、n∈N ) と表せる。

よって、xN=hnN=hN=π*I(h)である。

よって、π*I は全射である。

また、明らかに、Ker(π*I)=H∩N である。

よって、H/(H∩N) と HN/N は同型である。(※準同型定理)

S4 ( 第3同型定理 )

G を群とする。

H を G の正規部分群とする。

K⊂H を G の正規部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) (G/K)/(H/K) と G/H は同型である。

補足

つまり、剰余群に対して数の微分と同じ法則が成り立つ。

証明

φ:G/K→G/H をφ(xK)=xH で定義する。

ただし、φが well-defined であることを確認する必要がある。

実際、xK の表示は一意ではない。

もし、xK の表示に依存してφ(xK)の値が異なるとすれば、φは well-defined ではない。

x∈G とおく。

xK=xyK ( y∈K ) と表す。

いま、K⊂H である。

よって、xH=xyH である。

よって、φは well-defined である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

明らかに、Kerφ=H/K である。

よって、(G/K)/(H/K) と G/H は同型である。(※準同型定理)