群の直積

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定義 ( 群の直積 )

、・・・、G を群とする。

G=G×・・・×G を集合としての直積とする。

、g’∈G、・・・、g、g’∈G に対し、次のように定義する。

(*) (g、・・・、g)(g’、・・・、g’)=(g’、・・・、g’)

明らかに、この演算に関して G は群となる。(★)

このとき、G を 『 G、・・・、G の(群としての)直積 』 という。

(★)について補足

むろん、G の単位元は 1=(1、・・・、1)である。

また、(g、・・・、g−1=(g−1、・・・、g−1)である。

C1

、・・・、G を群とする。

このとき、G ( k=1、・・・、n ) は自然に G×・・・×G の部分群となる。

証明

φ:G→G×・・・×G をφ(g)=(1、・・・、g、・・・、1)で定義する。

明らかに、φは単射である。

いま、明らかに、G を G×・・・×G の部分集合と見なすことができる。

つまり、g と (1、・・・、g、・・・、1) を同一視できる。

実際、g と (1、・・・、g、・・・、1) はすべて1対1で対応している。

いま、G は G×・・・×G の演算に関して群である。

つまり、G は G×・・・×G の部分群である。

C2

、G を群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) G×G の中で G の元と G の元は可換である。

(2) G、G は G×G の正規部分群である。

(1)の証明

∈G、g∈G とおく。

いま、(g、1)(1、g)=(g、g)=(1、g)(g、1)である。

つまり、G の元と G の元は G×G において可換である。

(2)の証明

∈G、(h、h)∈G×G とおく。

いま、(h、h)(g、1)(h、h−1=(h−1、1)∈G である。

よって、G は G×G の正規部分群である。

C3 ( 射影は全射な準同型写像 )

、・・・、G を群とする。

:G×・・・×G→G を p(g、・・・、g)=g で定義する。

このとき、p は全射な準同型写像である。

証明

明らかである。

C4

G、H、K を群とする。

このとき、(G×H)×K、G×(H×K)、G×H×K は同型である。

証明

f:(G×H)×K→G×H×K を f((g、h)、k)=(g、h、k) で定義する。

明らかに、f は全単射である。

((g、h)、k)、((g’、h’)、k’)∈(G×H)×K とおく。

いま、



つまり、f は準同型である。

よって、(G×H)×K と G×H×K は同型である。

同様に、G×(H×K) と G×H×K は同型である。