具体例(アーベル化)

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D24

G を群とする。

π:G→G/[G、G] を自然な準同型写像とする。

A をアーベル群とする。

f:G→A を準同型写像とする。

このとき、[G、G]⊂Kerf である。

証明

[x、y]∈[G、G] とおく。

いま、f([x、y])=[f(x)、f(y)]=1 である。

また、[G、G] は交換子で生成される。

よって、[G、G]⊂Kerf である。

D25 ( 対称群のアーベル化 )

(1) [S、S]={1Sn} ( n=2 )

(2) [S、S]=A ( n≧3 )

(3) S/[S、S]=S/A/2 は同型である。( n≧2 )

(1)の証明

n=2 の場合、S はアーベル群である。

よって、[S、S]={1Sn} である。

(2)の証明

いま、A=Ker(sgn)である。

sgn の像 {±1} はアーベル群である。

よって、[S、S]⊂Ker(sgn)=A である。(※D24)

一方、A は ( 1 2 k ) ( k≧3 ) の形の元で生成される。

いま、( 1 2 k )=( 1 2 )( 1 2 k )( 1 2 )−1( 1 2 k )−1∈[S、S] である。

よって、A⊂[S、S] である。

よって、A=[S、S] である。

(3)の証明

(2)より、S/[S、S]=S/A である。

n=2 の場合、A={1} である。

よって、明らかである。

n≧3 の場合、sgn:S→{±1}に準同型定理を用いればよい。

D26

には位数 6 の部分群は存在しない。

証明

に位数 6 の部分群 N が存在したとする。(背理法)

いま、(A:N)=2 である。

よって、N は正規部分群である。(★)

よって、N は A の共役類をいくつか合わせたものである。

いま、A の共役類は 4 個である。(※D23)

それらの元の個数は 1、3、4、4 である。

これらからどのように和をとっても 6 にはならない。

これは矛盾である。

(★)について補足

H を群 G の部分群とする。

(G:H)=2 であるとする。

このとき、H は G の正規部分群である。

このことを証明しよう。

a∈G−H とおく。

いま、G は左剰余類で H と aH に分解される。

また、G は右剰余類で H と Ha に分解される。

よって、aH=Ha である。

よって、H は正規部分群である。

D27 ( A のアーベル化 )

次が成り立つ。

(1) [A、A]={ 1、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23) }

(2) |A/[A、A]|=3

(3) A/[A、A] と /3 は同型である。

(1)の証明

いま、[(123)(124)]=(12)(34)である。

また、[(132)(134)]=(13)(24)である。

また、[(143)(142)]=(14)(23)である。

よって、A の単位元を考慮すると、|[A、A]|≧4 である。

一方、A の部分群の位数は、1、2、3、4、6 のいずれかである。

さらに、1、2、3、4 のいずれかである。(※D26)

よって、|[A、A]|=4 である。

(2)の証明

(1)より明らかである。

(3)の証明

(2)より明らかである。

D28 ( A のアーベル化 )

次が成り立つ。

(1) A={ 1、(123)、(132) }

(2) A はアーベル群である。

(3) A/[A、A]=A/3 は同型である。

(1)〜(3)の証明

明らかである。

D29 ( A のアーベル化 )

n≧5 とする。

このとき、[A、A]=A である。

つまり、A/[A、A] と {1} は同型である。

証明

明らかに、[A、A]⊂A である。

いま、A は ( 1 2 k ) ( k≧3 ) の形の元で生成される。(※D12)

いま、n≧5 である。

よって、ある ( i、j ) が存在して、i≠j かつ i、j≠1、2、k となる。

いま、( 1 2 k )=( 1 2 i )( 1 2 i k j )( 1 2 i )−1( 1 2 i k j )−1∈[A、A] である。

よって、A⊂[A、A] である。

D30 ( 2面体群のアーベル化 )

n≧3 とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) [D、D]=<σ>

(2) n が奇数 ⇒ [D、D]={1、σ、σ、・・・、σn−1

(3) n が偶数 ⇒ [D、D]={1、σ、σ、・・・、σn−2

(4) n が奇数 ⇒ D/[D、D] と /2 は同型である。

(5) n が偶数 ⇒ D/[D、D] と /2 ×/2 は同型である。

補足

むろん、/4/2×/2 は同型である。

(1)の証明

いま、[σ、τ]=στσ−1τ−1=στσ−1τ=σττσ=σ である。

よって、σ∈[D、D] である。

よって、<σ>⊂[D、D] である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

の任意の交換子は次のいずれかである。

(*1) [σσ]=1

(*2) [σ、στ]=σστσ−iτσ−j=σσττσσ−j=σ2i

(*3) [στ、στ]=στσττσ−iτσ−j=σ2(i−j)

よって、[D、D]⊂<σ> である。

(2)の証明

n は奇数であるとする。

いま、σ=σn+1∈<σ> である。

よって、(1)より、[D、D]={1、σ、σ、・・・、σn−1} である。

(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

n は奇数であるとする。

いま、D={1、σ、σ、・・・、σn−1、τ、στ、στ、・・・、σn−1τ} である。

よって、(2)より、|D/[D、D]|=2 である。

よって、D/[D、D] と /2 は同型である。

(5)の証明

いま、明らかに、|D/[D、D]|=4 である。

よって、D/[D、D] と /4 は同型である。