具体例(共役類)

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注意

G から G 自身への共役による作用を考える。

つまり、x∈G とすると、Gx={ gxg−1|g∈G } である。

明らかに、これは共役類と同じである。

つまり、「 y∈Gx 」 と 「 x と y が共役である 」 は同じ意味である。

D19 ( 正2面体群の共役類 )

n≧3 とする。

このとき、D の共役類は次のようになる。

n が偶数の場合は、



n が奇数の場合は、

証明(偶数の場合について)

の元は σ またはτσ の形で表される。(※D17)

まず、σ の共役元を考える。

いま、任意の x∈D に対し、次が成り立つ。(※D17)



つまり、σ と共役な元はσ±i である。

次に、στ ( 1≦i≦n−1 ) の共役元を考える。

いま、任意の x∈D に対し、次が成り立つ。(※D17)



つまり、στと共役な元は στ ( k≡i ( mod2 )) である。

証明(奇数の場合について)

同様である。

D20 ( 正2面体群の中心 )

n≧3 とする。

このとき、Z(D)の共役類は次のようになる。

n が偶数の場合 : {1}、・・・、{σn/2

n が奇数の場合 : {1}

証明

明らかである。(※B2、D19)

D21 ( S の共役類 )

の共役類は次のようにまとめられる。

補足

よって、S の類等式は 6=1+3+2 である。

証明

G=S の自分自身への共役による作用を考える。

x=( 1 2 ) とする。

いま、St(x)=Z(x)である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x は自分自身と可換である。

よって、( 1 2 )∈Z(x)である。

よって、<( 1 2 )>⊂Z(x)である。

|Z(x)|は 2 以上で 6 の約数である。

よって、Z(x)=<( 1 2 )> または Z(x)=G である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(x)=G と仮定する。(背理法)

いま、x は G の任意の元と可換である。

しかし、(123)(12)(132)=(23)である。(※D14)

つまり、(12)と(123)は可換ではない。

これは矛盾である。

よって、Z(x)=<(12)> である。

よって、|C(x)|=6/2=3 である。(※S7)

また、(132)(12)(123)=(13)である。

よって、C(x)={(12)、(13)、(23)} である。

D22 ( S の共役類 )

の共役類は次のようにまとめられる。

補足

よって、S の類等式は 24=1+6+3+8+6 である。

証明

証明は省略する。

D23 ( A の共役類 )

の共役類は { 1、(123)、(132)、(12)(34) } である。

証明

自身への共役による作用を考える。

の共役類の代表系は 1、(12)、(123)、(1234)、(12)(34)である。(※D22)

このうち、A の元は 1、(123)、(12)(34)である。

いま、(123)(12)(34)(132)=(14)(23)である。(※D14)

また、(132)(12)(34)(123)=(13)(24)である。(※D14)

よって、A における(12)(34)の軌道は { (12)(34)、(13)(24)、(14)(23) } である。

つまり、軌道の元は 3 個である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

St(123) を (123) の固定化群とする。( むろん、共役による作用に関する固定化群である )

明らかに、<(123)>⊂St(123)である。

σ∈St(123)とおく。

いま、σ(123)σ−1=(123) である。

これの、4 に対する値を考える。

すると、σ(123)σ−1(4)=4 である。

よって、σ−1(4)=4 である。(※(123)は 『 4だけ 』 を変化させないことに注意すれば分かる)

よって、σ は { 1、2、3 } の置換である。

また、σは偶置換である。

よって、σ∈<(123)> である。

よって、St(123)=<(123)> である。

よって、(★1)より、(123)の共役は 12/3=4 個である。(※S6)(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

の位数 3 の元は { 1、2、3、4 } の巡回置換である。

それらはすべて A の元である。

よって、(★2) は (123) 以外にも適用できる。

つまり、A の任意の位数 3 の元の共役類は 4 個の元からなる。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

τ∈A を位数 3 の元とする。

τ(1)=1 の場合について考える。

σ=(14)(23) とすると、στσ−1(4)=4 である。

τ(2)=2、τ(3)=3 の場合も同様にστσ−1(4)=4 である。

よって、τは(123)または(132)に共役である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

位数 3 の元の個数は 4×2=8 である。

( {1、2、3、4} から 3 個の数を選ぶ方法で4通りである )

( 3個の数の巡回置換は(123)と(132)のように2通りである )

よって、(★3)より、(123)と(132)は共役ではない。

よって、A の共役類の代表系は { 1、(123)、(132)、(12)(34) } である。