直積分解⇒同型

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定義 ( 直積分解 )

G を群とする。

、・・・、H を G の部分群とする。

次が成り立つとする。

(1) G=H・・・H

(2) 任意の g∈G に対し、一意に g=h・・・h ( h∈H ) と表せる。

(3) i≠j ⇒ H と H の各元は交換可能である。

このとき、G=H・・・H を 『 G の直積分解 』 という。

むろん、条件(2)は条件(1)を含んでいる。

よって、条件(1)を書く必然性はない。

ただし、ここでは分かりやすさを優先して条件(1)を書いた。

C5 ( 「正規部分群を直積因子とする直積分解」に対する同値条件〜その1 )

G を群とする。

H、K を G の部分群とする。

G=HK であるとする。

このとき、次の(0)と(1)+(2)+(3)は同値である。

(0) G=HK は直積分解である。

(1) G=HK

(2) H と K は正規部分群である。

(3) H∩K={ 1

証明

(0)を仮定する。

いま、明らかに、(1)が成り立つ。

x∈H、g∈G とおく。

いま、g=hk ( h∈H、k∈K ) の形で表せる。

よって、gxg−1=(hk)x(hk)−1=hkxk−1−1=hxkk−1−1=hxh−1∈H である。

よって、H は G の正規部分群である。

これで(2)が示された。

x∈H∩K とおく。

いま、x=1・x=x・1 である。

この表示は一意であるから、x=1 である。

よって、H∩K={ 1 } である。

これで(3)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(1)、(2)、(3)を仮定する。

x∈H、y∈K とおく。

いま、x−1−1xy=x−1(y−1xy)∈H である。

また、x−1−1xy=(x−1−1x)y∈K である。

つまり、x−1−1xy∈H∩K={1} である。

よって、xy=yx である。(★1)

x=y=y ( y、y∈H、z、z∈K ) とする。

いま、y−1=z−1∈H∩K={1} である。

よって、y=y、z=z である。(★2)

(★1)、(★2)より、G=HK は直積分解である。

C6 ( 「正規部分群を直積因子とする直積分解」⇒同型〜その1 )

G を群とする。

H、K を G の正規部分群とする。

G=HK を直積分解とする。

このとき、G と H×K は同型である。

証明

f:H×K→G を f(h、k)=hk で定義する。

仮定より、f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、f(h、k)f(h’、k’)=hkh’k’=hh’kk’=f(hh’、kk’)である。

つまり、f は準同型写像である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(h、k)∈Kerf とおく。

いま、hk=1 である。

よって、h=k−1∈H∩K={ 1 } である。

よって、h=k=1 である。

つまり、Kerf=1H×K である。

よって、f は単射である。

C7 ( 「正規部分群を直積因子とする直積分解」に対する同値条件〜その2 )

G を群とする。

、・・・、H を G の部分群とする。

このとき、次の(0)と(1)+(2)+(3)は同値である。

(0) G=H・・・H は直積分解である。

(1) G=H・・・H

(2) 任意の 1≦i≦n に対し、H は G の正規部分群である。

(3) 任意の 1≦i≦n−1 に対し、(H・・・H)∩Hi+1={ 1 } である。

証明

(0)を仮定する。

いま、明らかに、(1)が成り立つ。

h∈H、g∈G とおく。

いま、g=h・・・h ( h∈H ) の形で表せる。

よって、



つまり、gH−1⊂H である。

よって、H は G の正規部分群である。

これで(2)が示された。

x∈(H・・・H)∩Hi+1 とおく。

いま、x∈H・・・H である。

つまり、x=h・・・h ( h∈H ) と表せる。

いま、1、・・・、1x1i+2・・・1=h・・・hi+1・・・1∈H・・・H である。

( むろん、1 である )

また、この表示は一意である。(※定義:直積分解)

よって、1≦k≦i に対し、h=1 である。

また、x=1i+1=1 である。

よって、(H・・・H)∩Hi+1={ 1 } である。

つまり、(3)が示された。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(1)、(2)、(3)を仮定する。

いま、G=H・・・H である。(★1)

g∈G とおく。

g=h・・・h=h’・・・h’ ( h、h’∈H ) とおく。

いま、h(h’)−1=(h・・・hn−1−1(h’・・・hn−1’)である。

上式の左辺は H の元であり、右辺は H・・・Hn−1 の元である。

よって、これは H・・・Hn−1∩H に属する。

よって、仮定(3)より、h=h’であり、h・・・hn−1=h’・・・hn−1’である。

さらに、帰納的に、hn−1=hn−1’、・・・、h=h’が示される。

つまり、g=h・・・h による表示は一意である。(★2)

1≦i<j≦n とおく。

∈H、h∈H とおく。

h=h−1 とおく。

いま、仮定(2)より、h∈H である。

一方、h=(hh−1)h である。

よって、(★2)より、h=hh−1であり、h=h である。

つまり、h=h である。(★3)

(★1)〜(★3)より、G=H・・・H は直積分解である。

C8 ( 「正規部分群を直積因子とする直積分解」⇒同型〜その2 )

G を群とする。

、・・・、H を G の部分群つる。

G=H・・・H を直積分解とする。

このとき、G と H×・・・×H は同型である。

証明

f:H×・・・×H→G を f(h、・・・、h)=h・・・h で定義する。

いま、f は全射である。(※定義:直積分解)

また、f は単射である。(※定義:直積分解)

(h、・・・、h)、(h’、・・・、h’)∈H×・・・×H とおく。

定義(直積分解)より、



よって、f は準同型写像である。