中心化群と正規部分群は一匹狼

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復習 ( 共役類 )

G を群とする。

x、y∈G とおく。

ある g∈G が存在して、x=gyg−1 となるとする。

このとき、「 x と y は共役である 」 という。

明らかに、共役は同値関係である。

そこで、共役による同値類を C(x) と表す。

このとき、C(x) を 『 共役類 』 という。

復習 ( 中心化群 )

G を群とする。

S を G の部分集合とする。

(S)={ x∈G|任意の s∈S に対して xs=sx である } と定義する。

このとき、Z(S) を 『 中心化群 』 という。

とくに、Z(G) を Z(G) と表す。

このとき、Z(G) を 『 G の中心 』 という。

明らかに、Z(S) は G の部分群である。

とくに、S={a} の場合、Z(a) と表す。

定義 ( 正規化群 )

G を群とする。

S を G の部分集合とする。

(S)={ x∈G|xS=Sx } と定義する。

このとき、N(S) を 『 S の正規化群 』 という。

明らかに、N(S) は G の部分群である。

参考

G がアーベル群である場合、明らかに Z(S)=N(S)=G である。

参考

N を正規化群とすると、明らかに、N(N)=G である。

B1

G を群とする。

S を G の部分集合とする。

H を G の部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) Z(S) は N(S) の部分群である。

(2) H は N(H) の正規部分群である。

(1)の証明

明らかに、Z(S)⊂N(S)である。

また、Z(S) は G の部分群であるから、N(S)の部分群である。

(2)の証明

x∈H とおく。

いま、xH=H=Hx である。(※代数学)

よって、x∈N(H)である。

よって、H⊂N(H)である。

また、明らかに、H は N(H) の正規部分群である。

B2 ( 中心化群は一匹狼の集団 )

G を群とする。

x∈G とおく。

このとき、次は同値である。

(1) x∈Z(G)

(2) C(x)={x}

補足

G がアーベル群である場合、明らかに、Z(G)=G である。

よって、G がアーベル群ならば、任意の x∈G に対して C(x)={x} である。

つまり、アーベル群において共役類は意味を失う。

証明

明らかである。

定義 ( 類等式 )

G を群とする。

いま、|G|=|Z(G)|+λ∈J|C(xλ)|が成り立つ。(※B2)

つまり、各 C(xλ)は2つ以上の元からなる共役類である。

このとき、上式を 『 類等式 』 という。

定義 ( 共役部分群 )

G を群とする。

H を部分群とする。

a∈G とおく。

このとき、aHa−1 を 『 G における H の共役部分群 』 という。

明らかに、aHa−1 は G の部分群である。

明らかに、H は H の共役部分群である。

実際、H=1H1−1 である。

B3 ( 正規部分群は一匹狼 )

G を群とする。

H を部分群とする。

このとき、次は同値である。

(1) H は G の正規部分群である。

(2) H の共役部分群は H のみである。

証明

明らかに、次は同値である。

(*1) H は G の正規部分群である。

(*2) 任意の x∈G に対し、xHx−1=H である。

(*3) H の共役部分群は H のみである。