位数3の群、位数4の群

サイトのTOP→理系インデックス
続・群論のTOP→続・群論インデックス





D1 ( 並べ替え定理 )

G を有限群とする。

x∈G とおく。

このとき、xG=G が成り立つ。

つまり、xG は G の成分を並べ替えただけである。

証明

|G|=n とする。

a、a’を G の異なる元とする。

xa=xa’とすると、a=a’となって矛盾である。

よって、xa≠xa’である。

よって、xG の位数は n である。

また、任意の a∈G に対し、xa∈G である。

以上により、xG=G である。

参考 ( クラインの4群 )

G={ e、a、b、c } とおく。

次のように定義する。



このとき、G を 『 クラインの4元群 』 という。

対角線上に e が並んでいることが1つの特徴である。

D2 ( 位数3の群 )

位数 3 の群は、その元の種類に依存せず同じ代数的構造をもつ。

G={e、a、b}とおく。

群表を作成してみよう。

まず、次のように埋めることができる。



さて、『?』 には何を入れればよいだろうか。

いま、1行(または1列)が同じ要素を含むことはない。(※D1:並べ替え定理)

よって、『?』 には e または b が入る。

しかし、e を入れてしまうと、3行目に b が並んでしまう。

よって、『?』 には b のみが入る。

すると、残りの欄も自動的に決定される。



つまり、位数 3 の群の群は、その元の種類に依存せず同じ代数的構造をもつ。

D3 ( 位数4の群 )

位数4の群は、巡回群またはクラインの4元群である。

G={e、a、b、c}とおく。

いま、G の元の位数は 1、2、4 のいずれかである。(※A10)

G の元の位数が 1 ならば、これはその元が単位元 e であることを意味する。

よって、a、b、c の位数はそれぞれ 2、4 のいずれかである。

a、b、c のうち、少なくとも1つの位数が 4 であるとする。

いま、明らかに、G は巡回群である。

むろん、位数 4 の元が2つ以上存在する可能性はない。

よって、残る可能性は、a、b、c の位数が全て 2 となる場合である。

いま、a=e 、b=e 、c=e である。

つまり、群表の対角線上には e が並ぶ。

群表を作成すると、次のようになる。(※D1:並べ替え定理)



これはクラインの4元群である。

つまり、位数4の群は、巡回群またはクラインの4元群である。