交換子群、アーベル化、可解群

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定義 ( 交換子 )

G を群とする。

a、b∈G に対し、[a、b]=aba−1−1 と定義する。

このとき、[a、b] を 『 a と b の交換子 』 という。

定義 ( [H、H] )

G を群とする。

、H を G の部分群とする。

{ [a、b]:a∈H、b∈H] } によって生成される G の部分群を [H、H] と表す。

定義 ( 交換子群 )

G を群とする。

D(G)=[G、G] と定義する。

このとき、D(G)を 『 G の交換子群 』 という。

参考 ( 交換子の背景 )

定義(交換子)は少し唐突であったかもしれない。

そこで、背景を説明しよう。

当然、abb−1−1 を考えると、これは 1 になる。

一方、aba−1−1 はどうであろうか?

おもしろそうなので、これを [a、b] とおいて、『 交換子 』 と呼ぶことにしよう。

もし、a と b が可換であれば、これも 1 になる。

つまり、交換子は a と b が非可換である場合に意味をもつ。

さて、交換子全体が群になってくれれば都合がよい。

しかし、残念ながら、一般には交換子全体は群にならない。

ただし、交換子には逆元が存在する。

実際、[a、b]−1=(aba−1−1−1=bab−1−1=[b、a] である。

つまり、交換子全体は 『 逆元の存在が保証された集合 』 である。

そこで、交換子全体から生成される群を 『 交換子群 』 と呼ぶのである。

B4

G を群とする。

N を G の正規部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) [G、G] は G の正規部分群であり、G/[G、G] はアーベル群である。

(2) G/N がアーベル群ならば [G、G]⊂N である。

(1)の証明

a、b、g∈G とおく。

いま、g[a、b]g−1=gag−1gbg−1(gag−1−1(gbg−1−1=[gag−1、gbg−1] である。

同様に、g−1 に対しても上記の関係が成り立つ。

よって、[G、G] は正規部分群である。(※A11)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

π:G→G/[G、G] を自然な準同型写像とする。

X、Y∈G/[G、G] とおく。

いま、ある x、y∈G が存在して、X=π(x)、Y=π(y) と表せる。

また、xyx−1−1∈[G、G] である。

つまり、π(xyx−1−1) は G/[G、G] の単位元である。

つまり、π(x)π(y)π(x)−1π(y)−1=1G/[G、G] である。

つまり、π(x)π(y)=π(y)π(x)である。

つまり、XY=YX である。

つまり、G/[G、G]はアーベル群である。

(2)の証明

π:G→G/N を自然な準同型写像とする。

x、y∈G とおく。

いま、G/N はアーベル群である。

よって、φ([x、y])=[φ(x)、φ(y)]=1G/N である。

つまり、[x、y]∈Kerφ=N である。

いま、[G、G] は [x、y] 全体によって生成される。

よって、[G、G]⊂N である。

定義 ( アーベル化 )

G/[G、G] を 『 G のアーベル化 』 という。

むろん、G/[G、G] は [G、G] が正規部分群である場合にのみ定義される。

また、G/[G、G] がアーベル群であることは既に示した。(※B4)

定義 ( 可解群 )

G を群とする。

ある部分群の列 G=G⊃G⊃・・・⊃G={1}が存在して、次を満たすとする。

(*1) Gi+1 は G の正規部分群である。

(*2) G/Gi+1 はアーベル群である。

このとき、G を 『 可解群 』 という。

定義 ( 巾零群 )

G を群とする。

ある部分群の列 G=G⊃G⊃・・・⊃G={1}が存在して、次を満たすとする。

(*1) Gi+1 は G の正規部分群である。

(*2) G/Gi+1 は G/Gi+1 の中心に含まれる。

このとき、G を 『 巾零群 』 という。

B5

(1) 巾零群は可解群である。

(2) G≠{1}が巾零群ならば Z(G)≠{1}である。

(1)の証明

G を巾零群とする。

いま、ある部分群の列 G=G⊃G⊃・・・⊃G={1}が存在して、次を満たすとする。

(*1) Gi+1 は G の正規部分群である。

(*2) G/Gi+1 は G/Gi+1 の中心に含まれる。

明らかに、(*1)より、Gi+1 は G の正規部分群である。

また、(*2)より、[G、G]⊂Gi+1 である。(※中心、剰余群の意味に注意して落ち着いて考えれば分かる)

よって、G/Gi+1 はアーベル群である。(★)

以上により、G は可解群である。

(★)について補足

X、Y∈G/Gi+1 とおく。

いま、ある x、y∈G が存在して、X=xGi+1、Y=yGi+1 と表せる。

一方、いま、[G、G]⊂Gi+1 である。

よって、xyx−1−1=xy(yx)−1∈Gi+1 である。

つまり、xy と yx は同じ剰余群に属する。

つまり、xyGi+1=yxGi+1 である。

よって、XY=xyGi+1=yxGi+1=YX である。

つまり、G/Gi+1 はアーベル群である。

(2)の証明

≠{1}を満たす最大の N を考える。

いま、G/{1} は G/{1} の中心に含まれる。

むろん、G/{1} と G は同じであり、G/{1} と G は同じである。

つまり、G は G の中心に含まれる。

よって、Z(G)≠{1}である。

定義 ( 交換子列 )

G を群とする。

次のように定義する。

(*1) D(G)=[G、G]

(*2) Di+1(G)=[D(G)、D(G)]

いま、G⊃D(G)⊃D(G)⊃・・・である。

これを 『 G の交換子列 』 という。

B6 ( 可解群に対する同値条件 )

G を群とする。

このとき、次は同値である。

(1) G は可解群である。

(2) D(G)={1}

証明

(1)を仮定する。

いま、部分群の列 G=G⊃G⊃・・・⊃G={1} が存在して次を満たす。

(*1) Gi+1 は G の正規部分群である。

(*2) G/Gi+1 はアーベル群である。

まず、(*2)より、D(G)⊂Gi+1 である。

よって、帰納的に D(G)⊂G である。

いま、G={1}である。

よって、D(G)={1}である。

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(2)を仮定する。

=G とおく。

=D(G)とおく。

いま、G=G⊃G⊃・・・⊃G={1}である。

また、Gi+1 は G の正規部分群である。(※B4)

また、G/Gi+1=G/[G、G] はアーベル群である。(※B4)

よって、G は可解群である。

参考 ( 巾零群に対する同値条件 )

G を群とする。

このとき、次は同値である。

(1) G は巾零群である。

(2) Z(G)={1}

証明

省略する。