交代群

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定義 ( 交代群 )

sgn:S→{±1}を符合とする。

sgn(σ)=+1 の場合、σを 『 偶置換 』 という。

sgn(σ)=−1 の場合、σを 『 奇置換 』 という。

偶置換全体を A と表す。

このとき、A を 『 交代群 』 という。

D9 ( 交代群は対称群の正規部分群である )

は S の正規部分群である。

証明

明らかに、A=Ker(sgn)である。

よって、A は S の正規部分群である。

別証明

σ∈A、τ∈S とおく。

いま、sgn(τστ−1)=sgn(τ)sgn(σ)sgn(τ−1)=sgnσ=1である。(※D6)

よって、τστ−1∈A である。

よって、A は S の正規部分群である。

定義 ( 巡回置換の長さ )

( i、・・・、i ) を巡回置換とする。

このとき、「 この巡回置換の長さは m である 」 という。

D10

X を有限集合とする。

σ∈S とおく。

このとき、ある巡回置換 σ、・・・、σ が存在して、次を満たす。

(*1) σ=σ・・・σ

(*2) σ、・・・、σ は共通する元をもたない。( つまり、定義域や終域が重複しない )

(*3) i≠j ⇒ σσ=σσ

(*4) σ、・・・、σ は順序を除いて一意である。

証明

∈X とおく。

N を、σ(i)=i を満たす最小の正の整数とする。

このような N>0 が存在することは保障されている。(※A10(3))

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=σ(i)、・・・、i=σN−1(i)とおく。

0≦k<k≦N−1 とする。

σ(i)=σ(i)と仮定する。(背理法)

いま、σ−k(i)=i である。

これは N の定義に矛盾する。

よって、0≦k<k≦N−1 ⇒ σ(i)≠σ(i)である。

つまり、{ i、・・・、i } はすべて異なる。

Y=X−{ i、・・・、i } とする。

いま、|Y|<|X|である。

また、σは { i、・・・、i } 上で巡回置換である。

また、σを Y に制限すると、σは Y 上の置換である。

よって、上記の議論と同様のことを Y に対して行うことができる。

この操作を繰り返せば、σは巡回置換の積として表される。

これで(*1)〜(*3)が示された。

また、(*4)も明らかである。

D11

を、S における奇置換全体とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) |O|=|A

(2) n≧2 ⇒ |A|=n!/2

(1)の証明

τ∈S を互換とする。

f:A→O を f(σ)=τσで定義する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ξ∈O とおく。

σ=τξとおく。

いま、σは偶置換である。

また、f(σ)=τσ=τξ=ξである。

よって、f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

σ、σ’∈A とおく。

f(σ)=f(σ’)とする。

いま、τσ=τσ’である。

よって、σ=σ’である。

よって、f は単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、f は全単射である。

(2)の証明

明らかに、|S|=n!である。

また、(1)より、|S|=|O|+|A|=2|A|である。

よって、|A|=n!/2 である。

D12

n≧2 とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) S は n−1 個の互換 ( 1 2 )、・・・、( 1 n ) によって生成される。

(2) A は n−2 個の巡回置換 ( 1 2 3 )、・・・、( 1 2 n )によって生成される。

(1)の証明

既に示したように、対称群は互換 ( i j ) によって生成される。(※D7)

i、j≠1 の場合、( i j )=( 1 i )(1 j )( 1 i )と表せる。

よって、定理が示された。

(2)の証明

(1)より、A の元は ( 1 i )( 1 j ) の形の元の積で表される。

i≠j の場合、



よって、定理が成り立つ。

D13

において巡回置換(a・・・a)を考える。

このとき、次が成り立つ。

(1) (a・・・a)=(a)・・・(a

また、次は同値である。

(2) (a・・・a)∈A

(3) m は奇数である。

(1)の証明

明らかである。(※D12)

(2)⇔(3)の証明

(1)より、明らかである。