共役類とヤング図形

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定義 ( ヤング図形 )

σ∈S とおく。

いま、σは巡回置換の積として表される。(※D10)

とくに、これを長さが大きい順に表す。

例えば、σ∈S に対し、(1、2、3)(4、5)と表す。

このとき、「 σの型は(3、2、1)である 」 という。

6 は不変なので省いて書くことが多いが、型を考える場合には考慮する。

σの型に対して次のような図形を対応させる。



この図形を 『 ヤング図形 』 という。

D14 ( 補題 )

( i、・・・、i )∈S を巡回置換とする。

ρ∈S とおく。

このとき、ρ( i、・・・、i )ρ−1=(ρ(i)、・・・、ρ(i)) である。

証明

τ( i、・・・、i ) とおく。

1≦m≦n とする。

まず、ρ−1(m) が { i、・・・、i } に属さない場合について考える。

いま、τρ−1(m)=ρ−1(m)である。

よって、ρτρ−1(m)=m である。

次に、ρ−1(m)が { i、・・・、i } に属する場合について考える。

いま、ある k∈{ 1、・・・、r } に対して m=ρ(i) である。

よって、ρτρ−1(m)=ρτ(i)=ρ(ik+1)である。

ただし、k=r の場合は、ik+1 は i を意味するとする。

以上により、ρτρ−1=(ρ(i)、・・・、ρ(i)) である。

D15 ( 共役類はヤング図形によって決定される )

σ、τ∈S とおく。

このとき、次は同値である。

(1) σとτは共役である。

(2) σとτの型は等しい。

証明

(1)を仮定する。

いま、ある ρ∈S が存在して、ρσρ−1=τである。

よって、σとτの型は等しい。(※D14)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

次のようにおく。



ρ∈S を次のように定義する。



いま、ρσρ−1=τである。