半直積分解⇒同型

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定義 ( 自己同型群 )

G から G への同型写像全体を Aut(G) と表す。

明らかに、Aut(G) は自然に群となる。(※写像の合成を積として定義すればよい)

このとき、Aut(G)を 『 自己同型群 』 という。

参考 ( Inn(G))

G を群とする。

g∈G とおく。

φ:G→G を φ(x)=gxg−1 で定義する。

このとき、φ を 『 内部自己同型写像 』 という。

G の内部自己同型写像全体を Inn(G) と表す。

明らかに、Inn(G) は Aut(G) における正規部分群である。

ちなみに、Inn(G) は G/Z(G) と同型である。

これを示してみよう。

F:G→Inn(G) を F(g)=φ で定義する。

いま、KerF={ g∈G|任意の x∈G に対してx=gxg−1 }=Z(G) である。

よって、Inn(G) と G/Z(G) は同型である。(※準同型定理)

定義 ( 半直積 )

H、J を群とする。

φ:J→Aut(H)を準同型写像とする。

(x、y)∈H×J に対し、次のような演算を定義する。

(*) (x、y)(x’、y’)=(x・φ(y)(x’)、y・y’)

この演算に関して H×J は群となる。(★)

このとき、H×J を H×φJ と表す。

また、H×φJ を 『 φによって定められる半直積 』 という。

明らかに、半直積は直積の一般化である。

(★)について補足

単位元は (1、1) である。

(x、y)の逆元は (φ(y)−1(x−1)、y−1)である。

結合則は次のように示される。



上の計算ではφが準同型写像であることに注意。

参考

H×φJ をφによって定まる半直積とする。

p:H×φJ→J を射影とする。

つまり、p(x、y)=y である。

明らかに、p は準同型写像である。

C9 ( 半直積分解⇒同型 )

J を G の部分群とする。

N を G の正規部分群とする。

G=NJ であるとする。

N∩J={1} であるとする。

φ:J→Aut(N)をφ(y)(x)=yxy−1 で定義する。

N×φJ をφによって定まる半直積とする。

このとき、G と N×φJ は同型である。

補足

これは C6(「正規部分群を直積因子とする直積分解」⇒同型〜その1)の一般化である。

証明

ψ:N×φJ→G をψ(x、y)=xy で定義する。

いま、



よって、ψは準同型写像である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

明らかに、ψは全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(x、y)∈Kerψとおく。

いま、xy=1 である。

よって、x=y−1∈N∩J={1}である。

つまり、(x、y)は N×φJ の単位元である。

よって、ψは単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上により、ψは同型写像である。