準同型定理の復習

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定義 ( G/H )

H を群 G の部分群とする。

G の H による左剰余類全体を G/H と表す。

G の H による右剰余類全体を G\H と表す。

つまり、G/H は左合同関係の商集合である。

注意 ( 群の位数 )

群 G に属する元の個数を 『 G の位数 』 といい、|G|と表す。

位数が有限な群を 『 有限群 』 といい、有限でない群を 『 無限群 』 という。

|G|を #G と表す書物もある。

復習 ( ラグランジュの定理 )

G を有限群とする。

H を G の部分群とする。

このとき、|G|=|G/H|・|H|である。

補足

ラグランジュの定理は剰余群に関する基本的な結果であり、様々な分野の基礎となる。

証明

g∈G とおく。

:H→gH を L(x)=gx で定義する。

明らかに、L は全単射である。

よって、|H|=|gH|である。(★1)

一方、G は gH、・・・、gH に類別できる。(★2)

( とくに、eH=H であることに注意 )

( むろん、s=|G/H|である )

よって、(★1)、(★2)より、|G|=|G/H|・|H|である。

復習 ( 群の準同型定理 )

G、G’を群とする。

f:G→G’を準同型写像とする。

π:G→G/Kerf を自然な準同型写像とする。

このとき、ある準同型写像φ:G/Kerf→G’が一意に存在して、φ*π=f となる。

つまり、G/Kerf と Imf は(群として)同型である。

証明

π(x)=π(y)と仮定する。

いま、xKerf=yKerf である。

よって、x∈yKerf である。

よって、ある k∈Kerf が存在して、x=yk となる。

よって、f(x)=f(yk)=f(y)f(k)=f(y)e’=f(y)である。

以上により、π(x)=π(y) ⇒ f(x)=f(y) である。

よって、φ:G/Kerf→Imf をφ(xKerf)=f(x)で定義できる。

つまり、f=φ*πであり、φが一意に存在する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、次が成り立つ。



よって、φは準同型写像である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ(xKerf)=e’とする。

いま、f(x)=e’である。

よって、x∈Kerf である。

よって、xKerf=Kerf である。

以上により、Kerφ={Kerf}である。

また、Kerf は G/Kerf の単位元である。

以上により、φは単射である。

一方、明らかに、φは全射である。

つまり、φは全単射である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★1)、(★2)より、φは G/Kerf から Imf への同型写像である。

参考

f:G→G’を(群の)準同型写像とする。

N を G の正規部分群とする。

N⊂Kerf であるとする。( つまり、f(N)={1}である )

φ:G/N→G’をφ(gN)=f(g)で定義する。

このとき、φは well-defined であり、(群の)準同型写像である。

補足

むろん、準同型定理の証明で今回の定理を用いてよい。

証明

x∈gN とおく。

いま、ある n∈N が存在して、x=gn と表せる。

よって、φ(xN)=f(x)=f(gn)=f(g)f(n)=f(g)である。

つまり、任意の x∈gN に対して φ(xN)=f(g) である。

つまり、代表元をどのように選んでもφの値は一意に定まる。

つまり、φは well-defined である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

xN、yN∈G/N とおく。

いま、φ(xN・yN)=φ(xyN)=f(xy)=f(x)f(y)=φ(xN)φ(yN)である。