「シローの定理」の応用

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参考

このページでは 『 シローの定理 』 を紹介する。

その証明は長くなるので省略する。

また、本格的な整数論などを目的としない限り、その証明を理解することは必須ではないであろう。

その代わり、理解を深めるために応用を扱う。

シローの定理は正規部分群を決定するために有用である。

シローの定理の応用は互いに独立している。

なので、とくに順番に固執せず、気軽に読むことができる。

注意

以下、素数の冪(べき)を考えることが多い。

ただし、冪という字は複雑であるため、ここでは 『 巾 』 という文字を用いる。

巾 は 冪 の略字としてよく用いられる。

定義( pシロー部分群 )

G を有限群とする。

H を G の部分群とする。

p を素数とする。

を、|G|を割り切る最大巾とする。

|H|=p であるとする。

このとき、H を 『 pシロー部分群 』 という。

定義( p群 )

位数が素数 p の巾である非自明な群を 『 p群 』 という。

むろん、これが部分群である場合には 『 p部分群 』 という。

B7 ( シローの定理 )

G を有限群とする。

p を素数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) m∈ に対して p が|G|を割り切るならば、G は位数 p の部分群をもつ。

(2) G は p シロー部分群をもつ。( 一般に一意とは限らない )

(3) 任意の p 部分群は、ある p シロー部分群に含まれる。

(4) G の p シロー部分群は互いに共役である。

(5) G の p シロー部分群の個数 N は|G|の約数であり、N=1+pk の形で表される。

補足

とくに、(5)の 1+pk を詳しく書くと、1+p|G|/N(H)である。

ただし、H は p シロー部分群を意味する。

証明

証明は長くなるので省略する。

その代わり、以下ではシローの定理の応用を述べる。

B8

G を有限群とする。

p を素数とする。

p は|G|を割り切るとする。

G の p シロー部分群は一意であるとする。

このとき、これは G の正規部分群である。

証明

P を G の p シロー部分群とする。

いま、任意の g∈G に対して gPg−1=P である。(※シローの定理)

よって、P は G の正規部分群である。

B9

G を有限群とする。

N を G の正規部分群とする。

P を N の p シロー部分群とする。

P は N の正規部分群であるとする。

このとき、P は G の正規部分群である。

証明

g∈G とおく。

いま、gPg−1⊂gNg−1⊂N である。

また、|gPg−1|=|P|である。

いま、gPg−1 は N の一意な p 部分群である。(※定理の仮定、シローの定理)

( ちなみに、B8 は無関係である )

よって、gPg−1=P である。

つまり、P は G の正規部分群である。

B10

G を有限群とする。

P を G の p シロー部分群とする。

H を G の部分群とする。

(P)⊂H であるとする。

このとき、N(H)=H である。

証明

明らかに、H⊂N(H)である。(★1)

g∈N(H)とおく。

いま、gPg−1⊂gN(P)g−1⊂gHg⊂H である。

また、|gPg−1|=|P|である。(※シローの定理)

よって、P と gPg−1 は H の p シロー部分群である。

よって、P と gPg−1 は H において共役である。

つまり、ある h∈H が存在して、hPh−1=gPg−1 となる。

よって、P=(h−1g)P(h−1g)−1 である。

よって、h−1g∈N(P)⊂H である。

よって、g∈hH=H である。

以上により、N(H)⊂H である。(★2)

(★1)、(★2)より、N(H)=H である。

B11 ( コーシーの定理 )

G を有限群とする。

p を素数とする。

p は|G|を割り切るとする。

このとき、G は位数 p の元をもつ。

補足

つまり、有限群はその位数の素因数を位数とする元をもつ。

補足

シローの定理を用いずに証明することもできる。

その場合、コーシーの定理をシローの定理の証明に応用できる。

証明

G は位数 p の部分群をもつ。(※シローの定理)

位数 p の部分群は巡回群である。(※A12)

よって、その生成元の位数は p である。

B12

G を有限群とする。

p を素数とする。

p は|G|を割り切るとする。

N を G の正規部分群とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) gcd(|G/N|、p)=1 ⇒ 「 N は G のすべての p シロー部分群を含む 」

証明

P を G の p シロー部分群とする。

P は N に含まれないと仮定する。(背理法)

いま、ある x∈P が存在して、x は N に属さない。

m∈ を、G における x の位数とする。

いま、m は|P|を割り切る。

よって、m は p の巾である。(★)

n∈ を、G/N における xN の位数とする。

いま、(xN)=xN=N である。

よって、n|m である。

よって、n は p の巾である。

しかし、|G/N|は p と互いに素である。

よって、n は p の倍数ではない。

よって、n=p=1である。

よって、xN=N である。

つまり、x∈N である。

これは矛盾である。

よって、N は P に含まれる。

B13

G を有限群とする。

p を素数とする。

|G|=pm であるとする。

p>m であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(*) gcd(p、m)=1 ⇒ G の p シロー部分群は一意である。

証明

G の p シロー部分群の個数は N=1+pk の形である。(※シローの定理)

また、N は|G|=pm の約数である。

いま、1+pk と p は互いに素である。

よって、1+pk は m の約数である。

いま、m<p である。

よって、k=0 であり、N=1である。

つまり、G の p シロー部分群は一意である。