正規部分群となるための条件(精密ver)

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復習 ( 正規部分群に対する同値条件 )

H を群 G の部分群とする。

このとき、次は同値である。

(1) H は G の正規部分群である。

(2) 任意の x∈G に対し、xHx−1=H である。

(3) 任意の x∈G に対し、xHx−1⊂H である。

(4) 任意の x∈G に対し、xH=Hx である。

(2)は、意味が分かりやすいので、正規部分群の定義として採用されることが多い。

(3)は、とくに条件が弱い。(むろん、本質的には他の条件と同値)

なので、ある部分群が正規部分群であることを示すためによく用いられる。

(4)は、左剰余類と右剰余類が一致することを意味する。

逆に言えば、正規部分群とは、左剰余類と右剰余類が一致するように定義された部分群である。

上記の定理は正規部分群に関する基本的な定理である。

このページではこの定理を精密化する。

A10 ( 「ラグランジュの定理」の系 )

G を有限群とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) H が G の部分群ならば|H|は|G|の約数である。

(2) 元 x∈G の位数は|G|の約数である。

(3) |G|=n ならば、任意の x∈G に対して x=1 である。

補足

これは非常に重要な定理である。

(1)の証明

明らかである。(※ラグランジュの定理)

(2)の証明

いま、ord(x)=|<x>|である。(※A4)

また、(1)より、|<x>|は|G|の約数である。

よって、ord(x) は|G|の約数である。

(3)の証明

(2)より明らかである。

A11 ( 正規部分群となるための条件〜精密ver )

N を群 G の部分群とする。

S を G の生成系とする。

T を N の生成系とする。

次が成り立つとする。

(*1) 任意の x∈S、y∈T に対し、xyx−1∈N である。

(*2) 任意の x∈S、y∈T に対し、x−1yx∈N である。

このとき、N は正規部分群である。

とくに、G が有限群の場合、(*1)のみで十分である。

補足

つまり、生成系に関する記述だけで正規部分群となるための条件を言える。

証明

x∈S とおく。

h∈N とおく。

いま、h=y±1・・・y±1 ( y、・・・、y∈T ) の形で表される。

よって、(*1)より、xhx−1=xy±1−1・・・xy±1−1∈N である。

つまり、(*1)より、xNx−1⊂N である。(★1)

同様に、(*2)より、x−1Nx⊂N である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

g∈G とおく。

いま、g=x±1・・・x±1 ( x、・・・、x∈S ) の形で表される。(★3)

よって、(★1)、(★2)より、



よって、N は正規部分群である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、G が有限群である場合について考える。

|G|=n とする。

いま、任意の x∈S に対し、x=1 である。(※A10)

よって、x−1=xn−1 である。

よって、(★3)より、任意の g∈G は g=x・・・x ( x、・・・、x∈S ) の形で表される。

よって、(★1)より、



よって、N は正規部分群である。

つまり、(*2)を用いず、(*1)のみで N が正規部分群であることを示した。