対称群

サイトのTOP→理系インデックス
続・群論のTOP→続・群論インデックス





定義 ( 差積 )

、・・・、X を変数とする。

D=D(X、・・・、X)=Π1≦i<j≦n(X−X)と定義する。

このとき、D を 『 X、・・・、X の差積 』 という。

注意

σ∈S とおく。

σD=D(Xσ(1)、・・・、Xσ(n))=Π1≦i<j≦n(Xσ(i)−Xσ(j))と定義する。

σD は X、・・・、X のうち、異なる2つの変数の差全体である。

よって、符合の違いを除けば、σD と D は等しい。

つまり、σD=±D である。

参考

明らかに、次が成り立つ。

(1) σが偶置換ならば σD=D である。

(2) σが奇置換ならば σD=−D である。

D6

(1) σ、τ∈S に対し、sgn(στ)=sgn(σ)sgn(τ)である。

(2) σ∈S に対し、sgn(σ−1)=sgn(σ)である。

(1)の証明

いま、sgn(στ)=(στ)D=σ(τD)=σ(sgn(τ)D)=sgn(τ)(σD)=sgn(τ)sgn(σ)D である。

つまり、sgn(στ)=sgn(σ)sgn(τ)である。

(2)の証明

(1)より、sgn(σ)sgn(σ−1)=sgn(1Sn)=1である。

定義 ( 互換 )

長さ 2 の巡回置換を 『 互換 』 という。

D7 ( 任意の置換は互換の積として表される )

(1) 互換は奇置換である。

(2) 任意の置換は互換の積として表される。

補足

ただし、1Sn は 0 個の置換の積とする。

補足

(2)は対称群が互換で生成されることを意味する。

(1)の証明

σ=(12)の場合を考える。

m≧3 とおく。

いま、σ(X−X)(X−X)=(X−X)(X−X)である。

D=Π1≦i<j≦n(X−X)=(X−X)D’とおく。

いま、σD’=D’である。

また、σD=(X−X)D’である。

よって、σD=−D である。

よって、sgnσ=−1である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

σ=( i j ) の場合を考える。

τ=( 1 i )( 2 j )とおく。

いま、σ=τ(12)τ−1 である。

よって、sgn( i j )=sgn(τ)sgn(12)sgn(τ−1)=−1である。(※D6)

(2)の証明

n=2 の場合について考える。

いま、S={ 1、(12) } である。

よって、明らかである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

n≧3 の場合について考える。

n−1の場合について定理が成り立つとする。

σ∈S とおく。

σ(n)=n の場合について考える。

いま、σ は n−1 個の置換と考えられる。

よって、σは互換の積として表される。(※帰納法の仮定)

σ(n)≠n の場合について考える。

いま、ある 1≦i≦n−1 に対して σ(i)=n である。

また、



いま、上式右辺の2つ目の置換は n−1 個の置換である。

よって、これは互換の積として表せる。(※帰納法の仮定)

よって、σは互換の積として表せる。

D8

σ=(a・・・a)∈S とおく。

つまり、σは長さ m の巡回置換である。

このとき、次が成り立つ。

(1) σの位数は m である。

(2) (a・・・a)=(a)・・・(a

(3) τ∈S に対し、τστ−1=(τ(a)・・・τ(a))である。

(1)の証明

いま、σ=1Sn である。

一方、1≦k≦m−1に対し、σ(a)=a≠a である。

よって、σ≠1Sn である。

(2)の証明

右辺の積をτとおく。

1≦k≦m−1 とする。

いま、



また、τ(a)=a である。

よって、τ=(a・・・a)である。

(3)の証明

1≦k≦m−1とおく。

いま、τστ−1(τ(a))=τσ(a)=τ(ak+1)である。

また、τστ−1(τ(a))=τσ(a)=τ(a)である。

よって、定理が示された。