中国式剰余定理(位数が素数巾の巡回群は直既約である)

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C10 ( 中国式剰余定理 )

m、n>1 を整数とする。

gcd(m、n)=1 であるとする。

このとき、/mn/m×/n は同型である。

証明

f:/mn/m×/n を f([x]mn)=f([x]、[x])で定義する。

まず、f が well-defined であることを確認する。

[x]mn=[y]mn と仮定する。

いま、mn|(x−y)である。

よって、m|(x−y) かつ n|(x−y) である。

よって、[x]=[y] かつ [x]=[y] である。

よって、f([x]mn)=f([y]mn) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[x]mn、[y]mn/mn とおく。

いま、



よって、f は準同型写像である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

([x]、[y])∈/m×/n とおく。

いま、gcd(m、n)=1 である。

よって、ある整数 p、q∈ が存在して、mp+nq=1 となる。(※A13)

両辺に x を掛けると、mxp+nxq=x である。

両辺に y を掛けると、myp+nyq=y である。

ここで、z=myp+nxq∈ とおく。

いま、[z]=[nxq]=[x] である。

また、[z]=[myp]=[y] である。

よって、f([z]mn)=([x]、[y])である。

よって、f は全射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f([x]mn)=f([y]mn) とおく。

いま、[x]=[y] かつ [x]=[y] である。

よって、m|(x−y) かつ n|(x−y) である。

一方、gcd(m、n)=1である。

よって、mn|(x−y) である。

つまり、[x]mn=[y]mn である。

よって、f は単射である。

C11

/mn/m×/n は同型であるとする。

このとき、/mn/m・/n は直積分解である。

証明

f:/m×/n/mn を同型写像とする。

={ f([x]、0)∈/mn : [x]/m } とおく。

={ f(0、[y])∈/mn : [y]/n } とおく。

いま、H/m は同型であり、H/n は同型である。

よって、/mn=H は直積分解である。(※C7)

C12

n>1 を整数とする。

n=p・・・p を n の素因数分解とする。

<・・・<p は異なる素数であり、e>1 であるとする。

このとき、/n/p×・・・×/p は同型である。

補足

むろん、各 /p は位数 p の ( /nの ) 部分群として一意である。(※A9)

証明

r=1 の場合は明らかである。

r>1 とする。

r−1以下の場合について定理が成り立つとする。

つまり、/m/p×・・・×/pr−1r−1 は同型であると仮定する。(★1)

m=p・・・pr−1r−1 とおく。

いま、(m、p)=1である。

よって、/n/m×/p は同型である。(※中国式剰余定理)(★2)

よって、/n/p×・・・×/p は同型である。

定義 ( 直既約 )

G を群とする。

任意の部分群 H、K⊂G に対し、次が成り立つとする。

(*) G=HK は直積分解 ⇒ 「 H={1} または K={1} 」

このとき、「 G は直既約である 」 という。

C13 ( 位数が素数巾の巡回群は直既約である )

p>1 を素数とする。

e≧1 を自然数とする。

このとき、任意の m、n∈ に対し、次が成り立つ。

(*) 「 /p/m×/n は同型 」 ⇒ 「 n=1 または m=1 」

補足

上の(*)は次のように言い換えられる。

(*) /p は非自明な2つの巡回群の直積と同型にならない。

あるいは、次のように言い換えられる。(※C9、定義:直既約)

(*) /p は真部分群の直積分解として表すことはできない。

証明

f:/m×/n/p を同型写像とする。

={ ([x]、[0])∈/m×/n : [x]/m } とおく。

={ ([0]、[y])∈/m×/n : [y]/n } とおく。

いま、K/m は同型であり、K/n は同型である。

また、f(K) は /p の位数 m の部分群である。

また、f(K) は /p の位数 n の部分群である。

よって、m と n は p の約数である。

つまり、m と n は p の巾乗である。

よって、p|m、p|n である。

よって、/m/n には位数 p の部分群が一意に存在する。(※A9)

よって、f(K) と f(K) にも位数 p の部分群が一意に存在する。

A を f(K) の位数 p の部分群とする。

B を f(K) の位数 p の部分群とする。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

A=B と仮定する。(背理法)

いま、A=B=<a> と表せる。

よって、f−1(a)∈f−1(A)∩f−1(B)⊂K∩K={(0、0)}である。

よって、a=(0、0)である。

これは矛盾である。

よって、A≠B である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

しかし、/p は巡回群であるから、位数 p の部分群は一意である。(※A9)

よって、矛盾である。

つまり、同型写像 f:/m×/n/p は存在しない。