置換と互換

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定義 ( 置換 )

対称群 S の元を 『 X の置換 』 という。

つまり、X の置換とは X から X への全単射である。

とくに、X が n 個の元からなる有限集合である場合、X を 『 n 次置換 』 という。

このとき、S を S と表し、『 n 次対称群 』 という。

の元σは次の形で表せる。



つまり、1 を i に写し、2 を i に写し、・・・、n を i に写すという意味である。

( 同じことは線形代数でも扱っている )

よって、S の位数は|S|=n!である。

定義 ( 巡回置換 )

X を集合とする。

k≦n とし、相異なる k 個の元 i、・・・、i∈X を次のように対応させる。



これ以外の元は恒等置換と同じようにして動かさないとする。

このような置換を 『 長さ k の巡回置換 』 といい、次のように表す。



とくに、長さ 2 の巡回群を 『 互換 』 という。

例えば、次のように表す。



1→4→5→1のように巡回していることが分かる。

定義 ( 対称群 )

X を空でない集合とする。

を X から X への全単射な写像全体とする。

の演算を写像の合成で定める。

明らかに、S はこの演算に関して群である。

このとき、S を 『 X の対称群 』 という。

の単位元は恒等写像である。

逆元は逆写像である。

定義 ( 置換群 )

X={ 1、・・・、n } とする。

このとき、S を S と表す。

この S を 『 n 次置換群 』 という。

D4

n≧3 の場合、S は非可換群である。

証明

例えば、(123)(12)≠(12)(123)である。

定義 ( 符合 )

={ 1、・・・、n } とする。

次のように定義する。



σ∈S に対し、次のように定義する。



このとき、sgn を 『 符合 』 という。

D5 ( 符合は準同型である )

sgn は S から {±1} への(群の)準同型写像である。

補足

{±1}は乗法群と見なす。

証明

定義より、



いま、σは全単射である。

よって、{σ(i)、σ(j) : { i、j }∈Ω }=Ω である。

つまり、{ i、j } が Ω 全体を動けば、{σ(i)、σ(j)} も Ω 全体を動く。

よって、(*)の右辺の分子の積は、±を除いて分母の積と等しい。

つまり、sgn(σ)=±1 である。

( Ω は 「 2つの数から構成される集合 」 の集合であって、「 順序対 」 の集合ではないことに注意 )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

σ、τ∈S とおく。

いま、



よって、



つまり、sgn は準同型である。