巡回群の部分群は巡回群である

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A1

G を群とする。

(Hλλ∈J を G の部分集合族とする。

任意のλ∈J に対し、Hλ は G の部分群であるとする。

このとき、(Hλλ∈J の共通部分は G の部分群である。

証明

H=∩λ∈Jλ とおく。

x、y∈H とおく。

いま、任意のλ∈J に対し、x、y∈Hλである。

λは G の部分群であるから、xy−1∈Hλである。

つまり、任意のλ∈J に対し、xy−1∈Hλである。

よって、xy−1∈H である。

以上により、x、y∈H ⇒ xy−1∈H である。

よって、H は G の部分群である。

注意 ( 群の指数 )

群 G の元 a と自然数 n に対し、次のように定義する。

(1) a=a・a・・・・a ( ただし右辺には a が n 個並んでいるとする )

(2) a−n=(a−1

(3) a=e

定義 ( 生成 )

S を群 G の部分集合とする。

S を含む最小の部分群を <S> と表す。

<S> を 『 Sから生成される部分群 』 という。

S を 『 <S>の生成系 』 という。

つまり、S を含む任意の部分群 A⊂G に対し、<S>⊂A である。

A2 ( 生成に対する同値条件 )

S を群 G の部分集合とする。

S を含む G の部分群全体を(Gλλ∈J とする。

このとき、次が成り立つ。



ただし、(3)において、+と−は自由に選んでよいものとする。

補足

つまり、<S> は、S と S−1 の元の有限個の積全体である。

(1)の証明

いま、∩λ∈Jλは G の部分群である。(※A1)

また、明らかに、∩λ∈Jλは S を含む部分群の中で最小である。

つまり、<S>=∩λ∈Jλである。

(2)の証明

右辺の集合を H とおいて、<S>=H を示す。

H の定義より、S⊂H である。

x、y∈H とおく。

いま、x、y は次の形で表せる。



H の定義より、



以上により、x、y∈H ⇒ xy−1∈H である。

よって、H は G の部分群である。

つまり、H は S を含む部分群である。

よって、<S>⊂H である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x∈H とおく。

いま、x は次のように表せる。



いま、a、・・・、a∈S である。

よって、a、・・・、a∈<S> である。

<S>は群であるから、



以上により、x∈H ⇒ x∈<S> である。

よって、H⊂<S> である。(★2)

(★1)、(★2)より、<S>=H である。

(3)の証明

(2)より明らかである。

例えば、ある元 x∈<S> が x=a−3c と表せたとする。

これは見方を変えれば、x=a+1+1−1−1−1c である。

参考

S が1個の元 a からなる場合( つまり S={a}の場合 )、<S> を <a> と表す。

このとき、<S>=<a>={ a|n∈ }である。(※A2)

定義 ( 元の位数 )

G を群とする。

x∈G とする。

ある正の整数 n が存在して、x=e となるとする。

このとき、その中で最小の整数を 『 x の位数 』 といい、ord(x) と表す。

=e となる正の整数が存在しない場合、ord(x)=∞ と表す。

定義 ( 巡回群 )

1つの元から生成される群を 『 巡回群 』 という。

巡回群 G が a によって生成されるとき、a を 『 G の生成元 』 という。

つまり、G=<a> であるとき、a を 『 G の生成元 』 という。

明らかに、次は同値である。(※A2)

(1) G が巡回群である。

(2) ある元 a∈G が存在して、G=<a> である。

(3) ある元 a∈G が存在して、G={ a|n∈ }である。

参考

G=<a> とする。

ord(a)=3 とする。

いま、



ところで、上式の途中で同じ元が繰り返し現れる行があることが分かる。

これが巡回群という名前の由来であろう。

A3

G を群とする。

x∈G とおく。

このとき、次は同値である。

(1) ord(x)=1

(2) x=e

証明

明らかである。

A4 ( 「巡回群の位数」=「生成元の位数」 )

G を群とする。

H を x∈G で生成された巡回部分群とする。( つまり、H=<x> である )

このとき、|H|=ord(x) である。

補足

つまり、巡回群について考える場合、「 群の位数 」 と 「 元の位数 」 を区別する必要はない。

証明

ord(x)=d とする。( d=∞の場合も認める )

いま、H={ x|n∈ } である。

n∈ を1つとって固定する。

いま、d、n は整数である。

よって、ある整数 q、r が一意に存在して、n=dq+r ( 0≦r<d ) となる。(※剰余定理)

よって、x=x である。

0≦r<d であるから、H={ e、x、・・・、xd−1 } である。

( ここで、H の位数は d であると早計してはならない )

ここで、0≦ i < j ≦d−1 とすると、0< j − i ≦d−1 である。

j−i=e とすると、ord(x)=d であることに矛盾する。

よって、xj−i≠e である。

よって、x≠x である。

よって、|H|=d である。

A5

巡回群の部分群は巡回群である

証明

G を巡回群とする。

いま、生成元 a∈G が存在して、G=<a> である。

H を G の部分群とする。

e∈H であるから、H≠φである。

H={e}とすると、明らかに、H は巡回群である。

そこで、H≠{e}とする。

H の任意の元は a (k∈) の形で表せる。

まず、整数 k の集合には自然数も属していることを示す。

自然数 m をとって、a−m∈H とする。

H は群であるから、a=(a−m−1∈H である。

よって、k は自然数の値をとることもある。

n を、指数 k の中で最小の自然数とする。

つまり、n=min{ k∈|a∈H } とおく。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、H が a によって生成される巡回群であることを示す。

いま、a∈H であり、H は G の部分群である。

よって、<a>⊂H である。(※定義:生成)(★2)

一方、x∈H とおく。

いま、ある k∈ ( k>0 ) が存在して、x=a となる。

また、k、n∈ である。

よって、ある q、r∈ が一意に存在して、k=nq+r (0≦r<n)となる。(※剰余定理)

よって、x=a=anq+r=(a・a である。

よって、a=a・(a−q である。

いま、a=x∈H かつ(a−q∈H である。

よって、a∈H である。

よって、(★1)と 0≦r<n より、r=0 である。

よって、x=a=(a∈<a> である。

以上により、H⊂<a> である。(★3)

(★1)〜(★3)より、H=<a> である。

A6

G を巡回群とする。

a を、G の生成元とする。( つまり、G=<a> である )

H を G の部分群とする。

n∈ を、a∈H を満たす最小の自然数とする。

このとき、H=<a> である。

証明

既に示した。(※A5の証明)

A7

巡回群はアーベル群である。

証明

G を巡回群とする。

いま、ある a∈G が存在して、G=<a>={ a|n∈ }である。

x、y∈G とおく。

いま、ある m、n が存在して、x=a、y=a となる。

よって、xy=a=am+n=an+m=a=yx である。

定義 ( 割り切る )

a、b を 0 でない整数とする。

ある整数 c が存在して、a=bc となるとする。

このとき、b|a と表し、「 b は a を割り切る 」 という。

A8

G を群とする。

x∈G とおく。

ord(x)=n<∞ であるとする。

このとき、s∈ に対し、次は同値である。

(1) x=e

(2) n|s

証明

(1)を仮定する。

いま、s、n は整数である。

よって、ある整数 q、r が一意に存在して、s=nq+r (0≦r<n)となる。(※剰余定理)

仮定より、x=xnq+r=e である。

よって、x=x(x−q=ee=e である。

0≦r<n=ord(x)であるから、r=0 である。

よって、s=nq である。

つまり、n|s である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、ある k∈ が存在して、s=nk となる。

よって、x=xnk=e=e である。

A9

G=<a> を位数 n<∞ の巡回群とする。

ある m∈ が存在して、m|n であるとする。

このとき、位数 m の部分群 H が一意に存在する。

これは H=<an/m> である。

証明

まず、位数 m の部分群が存在することを示す。

いま、ord(a)=n である。(※A4)

よって、ord(an/m)=m である。

よって、<an/m> は位数 m の部分群である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

H を位数 m の部分群とする。

∈H となるような最小の自然数 k をとると、H=<a> である。(※A6)

一方、仮定より、a=e∈H である。(※A4)

k は最小であるから、n≧k である。

いま、n、k は整数である。

よって、ある q、r∈ が一意に存在して、n=kq+r (0≦r<k)となる。(※剰余定理)

n≧k であるから、q≧1 である。(★)

いま、a=a(a−q=(a−q∈H である。

0≦r<k で自然数 k は最小であるから、r=0 である。

よって、n=qk である。

よって、ord<a>=q である。( q>0 であることは(★)で保障されている )

よって、H の位数は q である。(※A4)

H の位数は m としていたから、q=m である。

よって、k=n/m である。

よって、H=<an/m> である。