アダマールの公式、巾級数の収束半径

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注意

次の記号は同じ意味をもつ。



また、次の記号は同じ意味をもつ。

このサイトでは状況に応じて両方の表記を用いる。

定義 ( 上極限、下極限 )

(an∈ を実数列とする。

次のような値を 『 上極限 』 という。



次のような値を 『 下極限 』 という。

定義 ( 数列の極限 )

数列(an∈ に対し、次が成り立つとする。



このとき、「(an∈ は a に収束する 」 といい、次のように表す。

参考 ( なぜ上極限と下極限を定義するのか )

数列が有界であっても、その数列が極限をもつとは限らない。

しかし、数列が有界であれば、上限と下限は存在する。

そこで、これらを用いて上極限と下極限を定義したのである。

上極限は 「 上限全体の下限 」 であり、下極限は 「 下限全体の上限 」 である。

P1 ( 下極限≦上極限 )

(an∈ を実数列とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかに、任意の m∈ に対し、



よって、



よって、

P2 ( 収束 ⇔ 「 上極限=下極限 」 )

(an∈ を数列とする。

次は同値である。

証明

(1)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある N(1)∈ が存在して、infn≧N(1)>a−εとなる。

また、ある N(2)∈ が存在して、supn≧N(2)<a+εとなる。

N=max{N(1)、N(2)}とおく。

いま、n≧N ⇒|a−a|<εである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|a−a|<εである。

よって、a−ε≦infn≧Nlimn→∞ である。

同様に、limn→∞≦a+εである。

よって、a−ε≦limn→∞limn→∞≦a+εである。(※P1)

よって、limn→∞limn→∞=a である。

P3

1≦n≦∞n−1 を無限等比級数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) |r|<1 ならば、この級数は 1/(1−r) へ収束する。

(2) |r|≧1 ならば、この級数は発散する。

証明

既知とする。

定義 ( 収束半径 )

0≦n≦∞ を巾級数とする。

次のように定義する。



このとき、r を 『 0≦n≦∞ の収束半径 』 という。

r=∞ の場合も認める。

とくに、limn→∞|a1/n は ( ∞ を含めれば ) 必ず存在することに注意。

通常の極限では 『 振動 』 があるが、上極限にはそれがない。

よって、つねに収束半径を定義できる。

P4

0≦n≦∞ を巾級数とする。

ある s>0 が存在して、limn→∞|a1/n≦s となるとする。

|sx|<1 であるとする。

このとき、0≦n≦∞ は絶対収束する。

証明

いま、|sx|<1 である。

よって、ある ε>0 が存在して、|(s+ε)x|<1 となる。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|a|≦|(s+ε)x| である。(※P2)

よって、0≦n≦∞ は絶対収束する。(※P3)

P5 ( アダマールの公式 )

0≦n≦∞ を巾級数とする。

その収束半径を r とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) |x|<r ならば、巾級数は絶対収束する。

(2) |x|>r ならば、巾級数は発散する。

補足

|x|=r の場合には収束する場合もあるし、発散する場合もある。

(1)の証明

s=1/r とおく。

いま、|sx|<1 である。

よって、級数は絶対収束する。(※P4)

(2)の証明

ε=|x|−r とおく。

いま、ε>0 である。

また、ある N∈ が存在して、sup{ |a1/n : n≧N }≧1/r である。

よって、部分列 |aρ(n)1/ρ(n) が存在して、1/(r+ε/2) がその下界となる。

いま、



よって、巾級数は発散する。

P6 ( 収束半径 )

0≦n≦∞ を巾級数とする。

r=limn→∞|a/an+1|が存在するとする。

( r=∞ の場合も認める )

このとき、r は収束半径である。

証明

まず、r=0 の場合について考える。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|a/an+1|<ε となる。

よって、n≧N ⇒|a/a|=|a/aN+1|・・・|an−1/a|<εn−N である。

よって、n≧N ⇒|a1/n>ε−1|ε1/n である。

よって、limn→∞|a1/n≧1/ε である。

よって、limn→∞|a1/n=∞ である。

よって、巾級数の収束半径は 0 である。

つまり、r は巾級数の収束半径である。

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次に、r>0 の場合について考える。

ε>0 とおく。

ある N∈ が存在して、n≧N ⇒||a/an+1|−r|<ε である。

いま、|a/a|=|a/aN+1|・・・|an−1/a|である。

よって、n≧N ⇒(r−ε)n−N<|a/a|<(r+ε)n−N である。

よって、(r+ε)−1((r+ε)|a|)1/n<|a1/n<(r−ε)−1((r−ε)|a|)1/n である。

上式の各辺について上極限をとると、(r+ε)−1limn→∞|a1/n≦(r−ε)−1 である。

( とくに、定数 c に対して c1/n の上極限は 1 になることに注意 )

よって、limn→∞|a1/n=1/r である。

つまり、r は巾級数の収束半径である。

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次に、r=∞ の場合について考える。

M>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|a/an+1|>M である。

いま、|a/a|=|a/aN+1|・・・|an−1/a|である。

よって、n≧N ⇒|a/a|>Mn−N である。

よって、M−1(M|a|)1/n>|a1/n である。

よって、M−1limn→∞|a1/n である。

よって、1/limn→∞|a1/n=∞ である。

つまり、r は巾級数の収束半径と一致する。