f(z)=1/z は原始関数をもつか?

サイトのTOP→理系インデックス
続・複素解析のTOP→続・複素解析インデックス




参考

このページでは 「 f(z)=1/z が原始関数をもつか? 」 という問題について考える。

先に結論を言えば、これは議論する領域に依存する。

参考 ( f(z)=1/z は原始関数をもつか?〜その1 )

f:−{0}→ を f(z)=1/z で定める。

このとき、f は原始関数をもたない。

証明

F(z) を 1/z の原始関数とする。(背理法)

Γ(t)=e2πiΘ (0≦Θ≦1) とおく。

いま、Γ(0)=Γ(1) である。

よって、0=F(Γ(1))−F(Γ(0))=∫Γ1/zdz=2πi である。

これは矛盾である。

参考 ( f(z)=1/z は原始関数をもつか?〜その2 )

f:S(1、1)→ を f(z)=1/z で定める。

ただし、S(1、1)={ z∈:|z−1|=1 } である。

このとき、f は原始関数である。

補足

既に示したように、f(z)=1/z は −{0} 上では原始関数をもたない。

しかし、S(1、1)上ではもつ。

証明

次のように変形できる。



いま、limsupn→∞|(−1)1/n=limsupn→∞1=1 である。

よって、(*)の右辺の収束半径は 1 である。(※アダマールの公式)

ここで、次のように定める。



いま、F’(z)=f(z) である。(※項別微分)

つまり、F は f の原始関数である。