偏角の原理(正則関数ver)

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定義 ( 零点の個数 )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

E⊂D を領域とする。

(E)={ E 内における f の零点の位数の和 } と定義する。

これを 『 Eにおける f の零点の個数 』 という。

『 零点の位数 』 は B4 で定義した。

B5

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

E⊂D を領域とする。

Eの閉包は有界であり、Dに含まれるとする。

このとき、N(E)<∞ である。

証明

f が可算無限個の零点 z∈E をもつとする。

いま、E は有界である。

つまり、(zn∈ は有界である。

よって、収束部分列(zρ(n)n∈ が存在する。(※ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)

いま、limn→∞ρ(n)⊂D である。

よって、D上で f=0 である。(※B1:一致の定理)

これは矛盾である。

B6 ( 偏角の原理〜正則関数ver )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

f≠0 とする。( つまり、f は恒等的には 0 でないとする )

Γ⊂D を単純閉曲線とする。

Γint⊂D とする。

f はΓ上に零点をもたないとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

、・・・、a を、Γint に含まれる f の零点とする。

、・・・、N を a、・・・、a の位数とする。

δ>0 を十分小さくとり、次が成り立つようにする。

(*1) (a、δ)∩(a、δ)=φ ( k≠j )

(*2) S(a、δ)⊂Γint (k=1、・・・、m)

Γ(t)=a+δeit (0≦t≦2π) とおく。

このとき、次が成り立つ。(※複素解析:D3)



必要に応じてδをさらに十分小さくとれば、次が成り立つようにできる。(※B4)

(*3) (a、δ)上で正則な関数 g が存在する。

(*4) (a、δ)上でつねに g(z)=0 である。

(*5) (a、δ)上で f(z)=(z−a(z)となる。

このとき、f’(z)=N(z−a−1(z)+(z−a’(z)である。

よって、f’(z)/f(z)=N/(z−a)+g’(z)/g(z)である。

いま、g’(z)/g(z)は(Γint 上で正則である。(※A17(2))

よって、次が成り立つ。(※複素解析:D4、コーシーの積分定理)



(**1)、(**2)より、