偏角の原理(有理型関数ver)

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B15 ( 偏角の原理〜有理型関数ver )

D を の領域とする。

f:D→ を有理型関数とする。

Γ⊂D を単純閉曲線とする。

Γint⊂D とする。

N をΓint に含まれる f の零点の個数とする。

P をΓint に含まれる f の極の個数とする。

f はΓ上で零点をもたないとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

、・・・、a をΓint に含まれる f の零点とする。

、・・・、b をΓint に含まれる f の極とする。

このとき、次が成り立つ。(※複素解析:D3)



ただし、Γ=a+reit (0≦t≦2π)である。

一方、次が成り立つ。(※偏角の原理〜正則関数ver)



ただし、n は a の位数である。

また、Γ 上とその内部では次のように書ける。(※定義:極)



ただし、m は b の位数である。

また、g は正則であり、g(b)≠0 である。

いま、g は連続である。

よって、十分小さくδをとれば、(b、δ)上でつねに g(z)≠0 である。

いま、f’(z)=(z−b−mg’(z)−mg(z)(z−b−(m+1) である。

よって、f’(z)/f(z)=g’(z)/g(z)−(z−b−1 である。

いま、g’/g は正則である。

よって、次が成り立つ。



(*1)〜(*3)より、

B16 ( f*Γの回転数=N−P )

B15 の状況を引き継ぐ。

このとき、W(f*Γ、0)=N−P である。

証明

明らかである。(※B8、B6、B15)