テイラー展開

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参考

大学の微分積分学の試験では 『 テイラー展開(マクローリン展開) 』 が出題される。

例えば、「 f(x)=e のマクローリン展開を求めよ 」 などと出題される。

これの計算は簡単である。

実際、テイラー展開の公式に当てはめて、関数の微分を計算すればよいのだ。

高校生でも1分でできるようになるであろう。

しかし、ここで誤解が生じやすい。

試験では 『 テイラー級数展開可能な関数 』 のみが出題される。

ゆえに、学生は、すべての関数がテイラー級数展開可能であると錯覚する可能性がある。

そこで、このページではテイラー展開について詳しくまとめる。

ちなみに、同様の問題は 『 フーリエ級数展開 』 にも見られる。

この場合、関数のフーリエ級数が、元の関数と一致するとは限らない。

なので、テイラー級数展開とは別の誤解が生じやすい。

P1 ( テイラーの定理 )

f(x) が a と b を含む区間で n 回微分可能であるとする。

このとき、ある a<η<b が存在して、次のように表せる。



これを 『 f のテイラー展開 』 という。

とくに、limn→∞=0 であるとき、次のように表せる。( むろん、関数は無限回微分可能であるとする )



さらに、b を任意に動かすと、次のように表せる。



これを 『 f の ( a を中心とする ) テイラー級数 』 という。

とくに、a=0 である場合、テイラー級数を 『 マクローリン級数 』 という。

補足

とくに、上では R を次のように表した。



実は、これを次のように表すこともできる。



(*1) を 『 ラグランジュの剰余項 』 という。

(*2) を 『 コーシーの剰余項 』 という。

とくに、(*2) は、対数関数に対してテイラー展開を用いるときに有用である。

証明

次のようにおく。



次のようにおく。



明らかに、φ(b)=0 であり、φ(a)=0 である。

いま、f(x) は n 回微分可能であるから、φは微分可能である。

よって、ある a<η<b が存在して、φ’(η)=0 となる。(※ロルの定理)

一方、



ここで、x=ηを代入すると、K=f(n)(η) である。

補足に書いた(*2)の証明

上の証明に書いた (b−a)K/n! を (b−a)K/(n−1)! に置き換える。

後は、同様の手順によって K=(b−η)n−1(n)(η) を得る。

参考 ( テイラー級数展開 )

むろん、テイラー級数展開という場合、この関数はテイラー級数をもつことを意味する。

ただし、テイラー級数展開を単にテイラー展開と呼ぶこともできる。

これは混乱が生じる1つの要因であるかもしれない。

P2 ( 補題 )

任意の x に対して次が成り立つ。

証明

いま、ある N∈ が存在して、2|x|<N となる。

n≧N とすると、



また、



よって、limn→∞|x|/n!=0 である。

P3 ( sinx のマクローリン展開 )

sinx は次のように表せる。

証明

ある 0<η<x が存在して、次のように表せる。(※マクローリン展開)



いま、|cosη|≦1 である。

よって、|R|≦|x|2n+1/(2n+1)! である。

よって、limn→∞|R|=0 である。(※P2)

とくに、この収束は任意の x に対して成り立つ。

よって、任意の −∞<x<∞ に対し、次のように表せる。

P4 ( 指数関数のマクローリン展開 )

exp(x) は次のように表せる。

証明

ある 0<η<x が存在して、次のように表せる。(※マクローリン展開)



いま、limn→∞|R|=0 である。(※P2)

とくに、この収束は任意の x に対して成り立つ。

よって、任意の −∞<x<∞ に対し、次のように表せる。

P5 ( 対数関数のマクローリン展開 )

log(1+x) は次のように表される。

証明

f(x)=log(1+x) ( x>−1 ) とおく。

いま、



よって、次のように表せる。(※マクローリン展開)



また、R は次のいずれかの形で表せる。(※P1)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x=0 の場合、明らかに(*)が成り立つ。

0<x≦1 の場合について考える。

(*1)より、



よって、(*) が成り立つ。

−1<x<0 の場合について考える。

η=θx ( 0<θ<1 ) とおく。

(*2)より、



よって、(*)が成り立つ。