複素関数列の一様収束

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注意

以下、複素関数を単に 『 関数 』 と呼ぶ。

また、とくに断りがない限り、D は開集合であるとする。

定義 ( 各点収束 )

:D→ を関数列とする。

任意の点 z∈D に対し、極限 limn→∞(z)が存在するとする。

f:D→ を f(z)=limn→∞(z)で定義する。

このとき、f を 『(fn∈ の極限 』 という。

また、「 f は D 上で f に各点収束する 」 という。

各点収束を単に 「 収束 」 と呼ぶことも多い。

定義 ( 一様収束 )

:D→ を関数列とする。

f:D→ を関数とする。

任意のε>0 に対し、ある N∈ が存在して、次が成り立つとする。

(*) n≧N ⇒ 「 任意の z∈D に対して|f(z)−f(z)|<ε 」

このとき、「 f は D 上で f に一様収束する 」 という。

上の(*)を次のように表しても意味は同じである。

(**) n≧N ⇒ supz∈D|f(z)−f(z)|≦ε

B1 ( 一様収束に対する同値条件 )

:D→ を関数列とする。

このとき、次は同値である。

(1) (fn∈ がある関数に一様収束する。

(2) 任意のε>0 に対し、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。

(*) m、n≧N ⇒ 「 任意の z∈D に対して|f(z)−f(z)|<ε 」

補足

上の(*)を次のように表しても意味は同じである。

(**) m>n≧N ⇒ 「 任意の z∈D に対して|f(z)−f(z)|<ε 」

証明

(1)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、任意の m、n≧N に対し、次が成り立つ。

(*1) 任意の z∈D に対し、|f(z)−f(z)|≦|f(z)−f(z)|+|f(z)−f(z)|<2ε

これは(2)が成り立つことを意味する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。

(*2) 任意の z∈D に対して 「 m、n≧N ⇒|f(z)−f(z)|<ε 」

とくに、z を固定すると、(f(z))n∈ のコーシー列である。

また、 は完備である。(※位相空間論、または複素解析など)(★)

よって、極限 limn→∞(z)は存在する。

そこで、f:D→ を f(z)=limn→∞(z)と定義する。

(*2)において、m→∞ とすると、任意の z∈D に対して|f(z)−f(z)|≦εである。

つまり、f は D 上で f に一様収束する。

(★)について補足

もしかしたら、『 完備性 』 の意味を知らない読者がいるかもしれない。

しかし、心配をする必要はない。

完備性とは 『 コーシー列が収束する空間 』 を意味する。

つまり、「 は完備である 」 とは、 においてコーシー列が収束することを意味する。

ちなみに、 も完備である。

そのことを理解してもらえれば十分である。

B2 ( 連続性は一様収束の極限に遺伝する )

:D→ を連続関数列とする。

(fn∈ は f に一様収束するとする。

このとき、f は D 上で連続である。

証明

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。

(*) n≧N ⇒ 「 任意の z∈D に対して|f(z)−f(z)|<ε 」

ここで、z、a∈D とおく。

n≧N とおく。

いま、|f(z)−f(a)|≦|f(z)−f(z)|+|f(z)−f(a)|+|f(a)−f(a)|である。

よって、|f(z)−f(a)|<2ε+|f(z)−f(a)|である。

いま、f は連続である。

よって、点 z を点 a の十分近くにとれば、|f(z)−f(a)|<εとなる。

よって、|f(z)−f(a)|<3εである。

つまり、f は点 a で連続である。