複素巾級数、アダマールの公式、ダランベルの公式

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定義 ( 巾級数 )

(cn∈ を複素数列とする。

このとき、0≦n≦∞ を 『 巾級数 』 という。

z は複素変数である。

定義 ( αを中心とする巾級数 )

(cn∈ を複素数列とする。

αを複素定数とする。

このとき、0≦n≦∞(z−α) を 『 αを中心とする巾級数 』 という。

ただし、w=z−α とおけば、0≦n≦∞ となる。

つまり、最初から原点を中心とする巾級数を議論するだけで十分である。

むろん、原点を中心とする巾級数とは、定義(巾級数)を意味する。

参考 ( 無限級数と巾級数 )

まず、0≦n≦∞ について考える。

これは無限級数であろうか?巾級数であろうか?

実は、どちらでもよい。

z を定数と見なせば、これは無限級数である。

z を変数と見なせば、これは巾級数である。

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次に、0≦n≦∞ について考える。

つねに c=1 であるとすれば、0≦n≦∞ である。

むろん、これは無限級数と巾級数のどちらとでも見なせる。

一方、z=1 であるとすると、0≦n≦∞ である。

むろん、これは無限級数である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

このように、無限級数は限定的に巾級数を演じるし、巾級数は限定的に無限級数を演じる。

つまり、無限級数の理論を巾級数に適用することもできる。

このことに注意して、以下では 『 収束半径 』 について議論する。

最初に無限級数に対して 『 アダマールの公式 』 と 『 ダランベルの公式 』 を示し、それを巾級数に広げる。

定義 ( 上極限 )

(an∈ を実数列とする。

次のような値を 『 上極限 』 という。

A10 ( アダマールの公式〜無限級数ver )

を無限級数とする。

S=limsupn→∞|c1/n とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) S<1 ⇒ 狽 は絶対収束する。

(2) S>1 ⇒ 狽 は発散する。

補足

ちなみに、S=1の場合は判定できない。

(1)の証明

S<r<1 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|c1/n≦r となる。

つまり、|c|≦r である。

よって、煤bc|≦狽<∞ である。(※A7)

(2)の証明

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|c1/n>1 となる。

よって、c は 0 に収束しない。

よって、狽 は発散する。

A11 ( ダランベルの公式〜無限級数ver )

を無限級数とする。

S=limn→∞|cn+1|/|c|が存在したとする。(★)

このとき、次が成り立つ。

(1) S<1 ⇒ 狽 は絶対収束する。

(2) S>1 ⇒ 狽 は発散する。

補足

とくに、仮定(★)に注意する。

この極限が存在しなければ、ダランベルの公式は使用できない。

一方、この極限が存在する場合、これはアダマールの公式と同じであることが分かる。

つまり、ダランベルの公式は、アダマールの公式を限定的に記述している。

むろん、アダマールの公式の方が適用範囲が広い。

しかし、limsupn→∞|c1/n を直接に調べることは面倒な場合が多い。

そこで、ダランベルの公式によって収束を判定すると便利である。

(1)の証明

S<r<1 とおく。

ε=r−S とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒|cn+1/c−S|≦||cn+1|/|c|−S|<ε となる。

よって、|cn+1|<r|c|である。

つまり、任意の n≧N に対して|cn+1|<r|c|である。

よって、|cN+k|<r|cN+k−1|<r|cN+k−1|<・・・<r|c|である。

よって、1≦k≦∞|cN+k|<1≦k≦∞|c|<∞ である。(※A7)

よって、煤bc|<∞ である。

(2)の証明

ε=S−1>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒ S−|cn+1/c|≦||cn+1|/|c|−S|<ε となる。

よって、|cn+1|>|c|>・・・>|c|である。

よって、狽 は発散する。

A12 ( 収束半径の存在 )

0≦n≦∞ を巾級数とする。(★)

このとき、次が成り立つ。

(1) ある点 z≠0 で(★)が収束するならば、|z|<|z|で(★)は絶対収束する。

(2) ある点 z で(★)が発散するならば、|z|>|z|で(★)は発散する。

(1)の証明

いま、c→0 ( n→∞ ) である。

よって、c は有界である。

つまり、ある M>0 が存在して、任意の n∈ に対して|c|≦M となる。

よって、|z|<|z|とすると、



よって、0≦n≦∞ は絶対収束する。(※A10:アダマールの公式〜無限級数)

(2)の証明

|z|>|z|に対し、0≦n≦∞ が収束すると仮定する。(背理法)

いま、(1)より、0≦n≦∞ は z で収束する。

これは矛盾である。

定義 ( 収束半径 )

0≦n≦∞ を巾級数とする。(★)

(★)の収束・発散は次の3通りのみである。(※A12)

(1) z=0 でのみ収束する。

(2) ある R>0 が存在して、|z|<R で絶対収束し、|z|>R で発散する。

(3) 任意の z において発散する。

そこで、(2)の R を 『 (★)の収束半径 』 という。

(1)の場合は R=0 と規約し、(3)の場合は R=∞ と規約する。

初級者向けの参考書の場合、収束半径の存在を議論しない場合がある。

A13 ( アダマールの公式〜巾級数ver )

0≦n≦∞ を巾級数とする。

その収束半径 R は次のように表される。

補足

ただし、1/∞=0、1/0=∞ と規約する。

証明

次の関係に注意すれば明らかである。(※A10:アダマールの公式:無限級数ver)

(*) limsupn→∞|c1/n=|z|limsupn→∞|c1/n

A14 ( ダランベルの公式〜巾級数ver )

0≦n≦∞ を巾級数とする。

limn→∞|cn+1|/|c|が存在するとする。( ∞ の場合も認める )

その収束半径 R は次のように表される。

補足

ただし、1/∞=0、1/0=∞ と規約する。

証明

明らかである。(※A11:ダランベルの公式〜無限級数ver)