項別積分(複素解析ver)

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B6 ( 一様収束するならば、極限と線積分は可換 )

D を の領域とする。

f、f:D→ を連続関数とする。

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ[a、b]⊂D であるとする。

はΓ[a、b]上で f に一様収束しているとする。

このとき、次が成り立つ。

(*) limn→∞Γ(z)dz=∫Γf(z)dz

補足

上の(*)を次のように表しても意味は同じである。

(**) limn→∞Γ(z)dz=∫Γlimn→∞(z)dz

つまり、極限と線積分が可換であることを意味する。

証明

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。

(*1) n≧N ⇒ supz∈Γ[a、b]|f(z)−f(z)|<ε

よって、次が成り立つ。(※複素解析:C11(4))

(*2) n≧N ⇒|∫Γ(z)dz−∫Γf(z)dz|≦(supz∈Γ[a、b]|f(z)−f(z)|)L(Γ)≦εL(Γ)

B7 ( 項別積分 )

:D→ を連続関数とする。( D は の領域であるとする )

Γ:[a、b]→ を曲線とする。

Γ[a、b]⊂D であるとする。

1≦n≦∞(z)はΓ[a、b]上で一様収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(*) 1≦n≦∞Γ(z)dz=∫Γ1≦n≦∞(z)dz

証明

:Γ[a、b]→ を F(z)=1≦k≦n(z)で定義する。

f:Γ[a、b]→ を f(z)=1≦n≦∞(z)で定義する。

いま、F は f に一様収束する。

よって、次が成り立つ。(※B6)

(**) limn→∞Γ(z)dz=∫Γf(z)dz

これは(*)が成り立つことを意味する。