複素数列

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定義 ( 複素数列の収束 )

(zn∈ を複素数列とする。

α∈ とする。

次が成り立つとする。

(*) 任意の ε>0 に対し、ある N∈ が存在して、n≧N ⇒ |z−α|<εとなる。

このとき、「 (zn∈ はαに収束する 」 という。

これを次のように表す。

(*1) limn→∞=α

あるいは、次のように表す。

(*2) z→α ( n→∞ )

明らかに、 は同一視できる。

よって、『 複素数列の収束 』 と 『 の点列の収束 』 は本質的に同じである。

明らかに、次は同値である。

(*1) limn→∞=α

(*2) limn→∞|z−α|=0

とくに、(*2)は 『 実数列 』 の極限である。

つまり、複素数列の収束は実数列の収束に翻訳できる。

A1

(zn∈ を複素数列とする。

=x+iy とおく。( つまり、x=Re(z)、y=Im(z)である )

このとき、次は同値である。

(1) limn→∞=α

(2) limn→∞=Re(α)、limn→∞=Im(α)

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1

(a、b) を 上の点列とする。

よく知られているように、次は同値である。(※微分積分学など)

(*1) limn→∞(a、b)=(a、b)

(*2) limn→∞=a、limn→∞=b

また、 は同一視できる。

よって、定理が成り立つ。

証明〜その2

(1)を仮定する。

いま、|x−Re(α)|≦|z−α|→0 ( n→∞ ) である。

また、|y−Im(α)|≦|z−α|→0 ( n→∞ ) である。

つまり、limn→∞=Re(α)、limn→∞=Im(α) である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、|z−α|≦|x−Re(α)|+|y−Im(α)|→0 ( n→∞ ) である。

つまり、limn→∞=α である。

A2

(zn∈、(wn∈ を複素数列とする。

α を、(zn∈ の極限とする。

β を、(wn∈ の極限とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) limn→∞(z±w)=α±β

(2) limn→∞=αβ

(3) limn→∞(z/w)=α/β ( β≠0 )

(1)〜(3)の証明

実数列の極限と同様に示される。

定義 ( コーシー列 )

(zn∈ を複素数列とする。

任意の ε>0 に対し、ある N∈ が存在して、次を満たすとする。

(*) m、n≧N ⇒ |z−z|<ε

このとき、(zn∈ を 『 コーシー列 』 という。

上の(*)を次のように表しても意味は同じである。

(*) m>n≧N ⇒ |z−z|<ε

A3

(zn∈ を複素数列とする。

このとき、次は同値である。

(1) (zn∈ は収束列である。

(2) (zn∈ はコーシー列である。

補足

収束列とコーシー列が同値となる空間を 『 完備空間 』 という。

つまり、この定理は が完備であることを意味する。

証明

(xn∈ 上の点列とする。

よく知られているように、 は完備である。(※微分積分学、距離空間論など)

つまり、次は同値である。

(*1) (xn∈ は収束列である。

(*2) (xn∈ はコーシー列である。

また、 は同一視できる。

よって、定理が成り立つ。

参考

は完備である。

詳しい証明は微分積分学や距離空間論などを参照。

ただし、以下の議論では、定理の結果さえ知っていれば理解に被害は出ない。

A4

a∈ とする。

0≦|a|<1 であるとする。

このとき、limn→∞=0 である。

補足

証明は2通り用意した。

証明〜その1

いま、limn→∞|a−0|=limn→∞|a|=0 である。

つまり、limn→∞=0 である。

証明〜その2

|a|=0 の場合、定理が成り立つことは明らかである。

|a|≠0 の場合について考える。

ε>0 とおく。

x>0 とすると、(1+x)≧nx である。(※二項定理)

いま、|a|>0 である。

よって、



いま、