複素無限級数、絶対収束

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参考

ここでは複素無限級数について解説する。

基本的に議論の展開は実無限級数と同様である。

定義 ( 複素無限級数 )

(αn∈ を複素数列とする。

=α+・・・+α とおく。

いま、(Sn∈ は複素数列である。

極限値 S=limn→∞ が存在するとする。

このとき、S=1≦n≦∞α と表す。

また、「 1≦n≦∞α は収束する 」 という。

厳密に書くと、次のようになる。

(*) 任意のε>0 に対し、ある N∈ が存在して、n≧N⇒|1≦k≦nα−S|<εとなる。

級数が収束しない場合は 「 発散する 」 という。

A5

(αn∈ を複素数列とする。

1≦n≦∞α が収束するならば、limn→∞α=0 である。

証明

S=1≦n≦∞α とおく。

いま、α=S−Sn−1 である。

また、limn→∞=S=limn→∞n−1 である。

よって、limn→∞α=S−S=0 である。

A6

(αn∈ を複素数列とする。

α=a+ib とおく。

このとき、次は同値である。

(1) 1≦n≦∞α が収束する。

(2) 1≦n≦∞1≦n≦∞ が収束する。

とくに、(1)または(2)が成り立つとき、次が成り立つ。

(3) 1≦n≦∞α1≦n≦∞+i1≦n≦∞

証明

明らかである。(※S1)

A7

ζ∈ とおく。

このとき、次が成り立つ。

(1) |ζ|<1 ⇒ 0≦n≦∞ζ=1/(1−ζ)

(2) |ζ|≧1 ⇒ 0≦n≦∞ζ は発散する。

(1)の証明

明らかに、0≦n≦mζ=(1−ζm+1)/(1−ζ)→1/(1−ζ) ( m→∞ ) である。(※A4)

(2)の証明

明らかである。

定義 ( 絶対収束 )

(αn∈ を複素数列とする。

1≦n≦∞|α|が収束するとする。

このとき、「1≦n≦∞α は絶対収束する 」 という。

1≦n≦∞α の絶対収束を 1≦n≦∞|α|<∞ と表してよい。

実際、1≦k≦n|α|は単調増加数列である。

よく知られているように、上に有界な単調増加数列は収束する。

A8

α=a+ib とおく。

このとき、次は同値である。

(1) 1≦n≦∞α は絶対収束する。

(2) 1≦n≦∞1≦n≦∞ は絶対収束する。

証明

(1)を仮定する。

任意の n∈ に対し、1≦k≦n|a|≦1≦k≦n|α|かつ1≦k≦n|b|≦1≦k≦n|α|である。

よって、(2)が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

任意の n∈ に対し、1≦k≦n|α|≦1≦k≦n|a|+1≦k≦n|b|である。

よって、(1)が成り立つ。

A9

1≦n≦∞α が絶対収束するならば、1≦n≦∞α は収束する。

また、1≦n≦∞α の項の順番を入れ替えた級数1≦n≦∞β も収束する。

また、1≦n≦∞α1≦n≦∞β である。

補足

この定理が実無限級数に対して成り立つことは微分積分学などでよく知られている。

なので、実無限級数に対して上記の定理が成り立つことは既知とする。

証明

α=a+ib とおく。

いま、1≦n≦∞1≦n≦∞ は絶対収束する。(※A8)

よって、1≦n≦∞1≦n≦∞ は収束する。(※微分積分)

よって、1≦n≦∞α は収束する。(※A1)