収束半径内の収束(精密ver)

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B8 ( A12の精密版 )

0≦n≦∞ を巾級数とする。(★)

R をその収束半径とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) (★)は|z|<R で絶対収束する。

(2) 任意の r<R に対し、(★)は|z|≦r で一様収束する。

証明

|z|<R とおく。

いま、(★)は収束する。(※定義:収束半径)

よって、limn→∞=0 である。

よって、点列 c は有界である。

つまり、ある定数 M(z)>0 が存在して、|c||z|=|c|≦M(z)となる。

0<r<R とおく。

いま、あるε>0 が存在して、r=r+ε<R となる。

|z|≦r とおく。

いま、|c||z|=|c|r(|z|/r≦M(r)(r/r である。

また、r/r<1 である。

よって、0≦n≦∞(r/r=(1−r/r−1<∞である。

よって、0≦n≦∞ は|z|≦r において一様絶対収束する。(※A9:Mテスト)

いま、r は 0<r<R の範囲で任意である。

よって、(1)と(2)が示された。