一致の定理(正則関数ver)

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参考

一致の定理は 『 解析接続の原理 』 と呼ばれることもある。

この定理は解析接続というテーマへの入り口になっているからである。

B1 ( 一致の定理〜その1 )

D を の領域とする。

f、g:D→ を正則関数とする。

ある点列(zn∈⊂D が存在して、次を満たすとする。

(*1) f(z)=g(z) (n∈

(*2) limn→∞=a∈D

(*3) z≠a (n∈

このとき、D上で f=g である。

証明

F(z)=f(z)−g(z)とおく。

いま、F は D 上で正則である。

また、F(z)=0 (n∈) である。

いま、a∈D である。

よって、δ>0 を十分小さくとれば次が成り立つ。(※A19:テイラー展開、A13)

(*1) S(a、δ)上で F(z)=0≦k≦∞(z−a) と書ける。

(*2) S(a、δ)上で(*1)の級数は一様収束する。

ただし、c=F(k)(a)/k!である。

ε>0 とおく。

いま、(*2)より、ある N∈ が存在して、S(a、δ)上で次が成り立つ。

(*3) n≧N ⇒|F(z)−0≦k≦n(z−a)|<ε

いま、F(z)=0 である。

よって、|0≦k≦n(z−a)|<εである。

m→∞ とすると、|c|≦εである。

よって、c=0 である。

ここで、G=0≦k≦∞k+1(z−a) とおく。

このとき、F(z)=(z−a)G(z)である。

よって、G(z)=0 である。

そこで、G に対して上記と同様の議論を繰り返せば c=0 である。

同様に、c=0、c=0、・・・である。

よって、F(z)=0 (z∈S(a、δ))である。

しかも、F は連続である。

よって、F(z)=0 (z∈(a、δ))である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

b∈D とおく。

b は (a、δ)に属さないとする。

いま、ある曲線Γ:[t、t]→D が存在して、Γ(t)=a、Γ(t)=b となる。

T=sup{ s∈[t、t)|F(Γ(t))=0、t∈[t、s]}とおく。

いま、t≦T≦t である。

T<t と仮定する。(背理法)

c=Γ(T)とおく。

(★1)より、あるδ>0 が存在して次が成り立つ。

(*4) (c、δ)⊂D

(*5) F(z)=0 (z∈(c、δ))

いま、Γは連続である。

よって、あるδ>0 が存在して、次が成り立つ。

(*6) 0<t≦δ ⇒ 「 T+t≦t かつ|Γ(T+t)−c|<δ

よって、

(*7) 0<t≦δ ⇒F(Γ(T+t))=0

しかし、これは T の定義に矛盾する。

よって、T=t である。

よって、F(b)=0 である。(★2)

(★1)、(★2)より、D上で F(z)=0 である。

B2 ( 一致の定理〜その2 )

D を の領域とする。

f、g:D→ を正則関数とする。

A⊂D を、集積点をもつ集合とする。

A上で f=g であるとする。

このとき、D上で f=g である。

補足

こちらの形で述べられることも多い。

証明

明らかである。(※B1)