一致の定理(有理型関数ver)

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定義 ( 有理型 )

f:D→ を複素関数とする。

f は点 a∈D において正則、または極をもつとする。

このとき、「 f は点 a において有理型である 」 という。

定義 ( 有理型関数 )

D を の領域とする。

f:D→ を複素関数とする。

D の各点において f は有理型であるとする。

このとき、f を 『 有理型関数 』 という。

B12

f、g:D→ を有理型関数とする。

このとき、f+g、fg、f/g も有理型関数である。

ただし、f/g については、g は恒等的には 0 でないとする。

証明

f+g、fg について定理が成り立つことは明らかである。

また、f/g について成り立つことも明らかである。(※B11)

B13

D を の領域とする。

(an∈⊂D とする。

limn→∞=a∈D であるとする。

このとき、a を極にもつ D 上の有理型関数は存在しない。

証明

f:D→ を、定理の仮定を満たす有理型関数とする。(背理法)

このとき、g(z)=1/f(z)も D 上の有理型関数とする。

また、各 a は g の零点である。

よって、D上でつねに g(z)=0 である。(※B1:一致の定理)

しかし、これは矛盾である。

B14 ( 一致の定理〜有理型関数ver )

f、g:D→ を有理型関数とする。

A を D 内に集積点をもつ集合とする。

A 上で f=g であるとする。

このとき、D上で f=g である。

証明

a∈A とおく。

いま、f と g は点 a で正則、または極をもつとする。

しかし、いずれにしても次が成り立つ。

(*1) ある整数 n≧0 が存在して、F(z)=(z−a)f(z)、G(z)=(z−a)g(z)となる。

(*2) 十分小さなδ>0 が存在して、S(a、δ)上で F と G は正則である。

いま、A 上で F=G である。

よって、S(a、δ)上で F=G である。(※B1:一致の定理)

よって、S(a、δ)−{a}上で f=g である。(★1)

よって、f と g は点 a のまわりで同じローラン展開をもつ。

f と g の D 内の極を { a }、{ b } とする。

E=D−({ a }∪{ b })とする。

いま、{ a } や { b } が点 a に収束する点列となることはない。(※B13)

よって、E は領域である。

また、f と g は E 上で正則である。(★2)

(★1)、(★2)より、E上で f=g である。(※B1:一致の定理)

よって、{ a }、{ b } においても f と g は同じローラン展開をもつ。

よって、a は g の極であり、b は f の極でもある。

よって、{ a }={ b } である。

よって、D上で f=g である。