回転数=零点の個数=偏角の増分

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定義 ( 回転数 )

Γを閉曲線とする。( 単純閉曲線でなくてもよい )

a を RanΓに属さない点とする。

次のような記号を定義する。



これを 『 Γの a まわりの回転数 』 という。

B7 ( 回転数は整数である )

Γを閉曲線とする。( 単純閉曲線でなくてもよい )

a を RanΓに属さない点とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) W(Γ、a)は整数である。

(2) a∈Γext ⇒ W(Γ、a)=0

(1)の証明

Γ:[t、t]→ とおく。

F(t)=Γ(t)−a とおく。

このとき、



( z=Γ(t)で変換しているので、dz/dt=Γ’(t)に注意 )

ここで、次のようにおく。



このとき、W(Γ、a)=(2πi)−1G(t)である。

また、G は微分可能である。

よって、G’(t)=F(t)−1F’(t)である。

ここで、H(t)=e−G(t)F(t)とおく。

このとき、H’(t)=0 である。

よって、H(t)は定数である。

つまり、e−G(tF(t)=H(t)である。

つまり、e−G(tF(t)=F(t)である。

一方、F(t)=F(t)である。

よって、e−G(t=1である。

よって、G(t)=2πim ( m は整数 ) と書ける。

よって、W(Γ、a)=m である。

(2)の証明

既に示した。(※複素解析:D4)

B8 ( 回転数=零点の個数 )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

f≠0 とする。( つまり、f は恒等的には 0 でないとする )

Γ⊂D を単純閉曲線とする。

Γint⊂D とする。

f はΓ上に零点をもたないとする。

このとき、W(f*Γ、0)=N(Γint)である。

証明

いま、f*Γは閉曲線である。

また、(f*Γ)’(t)=Γ’(t)f’(Γ(t))である。

よって、次が成り立つ。(※B6)

定義 ( 偏角の増分 )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

Γ:[t、t]→ を曲線とする。

f はΓ上で零点をもたないとする。

次のように定義する。



これを 『 Γに沿う f の偏角の増分 』 という。

B9 ( 偏角の増分を計算する )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

Γ⊂D を単純閉曲線とする。

f はΓ上で零点をもたないとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

ζ∈RanΓとおく。

いま、ある定数δζ>0 が存在して、次が成り立つ。

(*1) f は S(ζ、δζ)上で正則である。

(*2) f は S(ζ、δζ)上で零点をもたない。

いま、RanΓ⊂∪ζ∈RanΓS(ζ、δζ)である。

また、RanΓはコンパクト集合(つまり有界閉集合)である。

よって、有限個の点ζ、・・・、ζ が存在して、RanΓ⊂∪1≦k≦mS(ζ、δζ)となる。

いま、S(ζ、δζ)∩S(ζk+1、δζk+1)≠φ(k=1、・・・、m)と仮定しても一般性を失わない。

ただし、ζm+1=ζ とする。

いま、ある点 a、・・・、a∈RanΓが存在して、次が成り立つ。

(*3) a、ak+1∈S(ζ、δζ) (k=1、・・・、m)

ただし、am+1=a である。

Γ:[t、t]→D として、Γ(t)=a=Γ(t)と仮定しても一般性を失わない。

いま、S(ζ、δ)上で f は正則であり、つねに f(z)≠0 である。

よって、枝 logf(z)=log|f(z)|+iargf(z)は S(ζ、δζ)上で正則である。

ただし、枝は 0≦argf(a)<2πとなるように選ぶ。

次に、S(ζ、δζ)上の枝 logf(z)を次が成り立つように選ぶ。

(*4) z=a において、S(ζ、δζ)上の logf(z)と一致する。

これを繰り返す。

いま、logf(z)は各 S(ζ、δζ)上で正則である。

また、dlogf(z)/dz=f’(z)/f(z)である。

よって、次が成り立つ。(※複素解析:D7)



上式を k=1、・・・、m について加えれば、

B10 ( 回転数=零点の個数=偏角の増分 )

D を の領域とする。

f≠0 とする。( つまり、f は恒等的には 0 でないとする )

Γ⊂D を単純閉曲線とする。

Γint⊂D とする。

f はΓ上に零点をもたないとする。

このとき、次が成り立つ。

証明

明らかである。(※B8、B6、B9)