項別微分(複素解析ver)

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B13 ( 項別微分可能 )

:D→ を正則関数列とする。( D は の領域であるとする )

F(z)=1≦n≦∞(z)は D 上でコンパクト一様収束しているとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) F は D 上で正則である。

(2) F(k)(z)=1≦n≦∞(k)(z) ( z∈D、k∈

(3) 上の(2)は D 上でコンパクト一様収束する。

証明

明らかである。(※B12)

B14 ( 巾級数展開可能⇒正則性 )

f(z)=0≦n≦∞ と表せるとする。

R をその収束半径とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f は|z|<R 上で正則である。

(2) f’も|z|<R 上で正則である。

(1)の証明

(z)=0≦k≦n とおく。

いま、F は巾級数である。

よって、定理が成り立つ。(※B8、B13)

(2)の証明

いま、f’(z)=1≦n≦∞ncn−1 である。(※B13(2))

また、f’の収束半径は f と一致する。(※A10:アダマールの公式〜無限級数ver)

よって、(1)の結果を用いればよい。

B15 ( 巾級数展開の一意性 )

f(z)=0≦n≦∞ と表せるとする。

このとき、c=f(n)(0)/n!(n≧0)である。

補足

つまり、巾級数展開は一意である。

証明

明らかに、c=f(0)である。

一方、f’(z)=1≦n≦∞ncn−1(|z|<R)である。(※B13)

さらに繰り返すと、f(k)(z)=k≦n≦∞n(n−1)・・・(n−k+1)cn−k (|z|<R)である。

よって、f(k)(0)=k!c である。