零点と極の関係

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復習 ( 極 )

f は 0<|z−a|<R上で正則であるとする。

ある 0<δ<R、自然数 n が存在して、次が成り立つとする。

(*1) S(a、δ)上で正則な関数 g が存在する。

(*2) g(a)≠0

(*3) f(z)=(z−a)−ng(z) (0<|z−a|<δ)

このとき、a を 『 f の極 』 という。

また、n を 『 a の位数 』 という。

極の定義は複素解析インデックスにも書いてある。

B11 ( 零点と極の関係 )

f は|z−a|<R 上で正則であるとする。

このとき、次は同値である。

(1) f は a で n 位の零点をもつ。

(2) 1/f は a で n 位の極をもつ。

証明

(1)を仮定する。

このとき、ある 0<δ<R が存在して、次が成り立つ。(※B4)

(*1) S(a、δ)上で正則な関数 g が存在する。

(*2) S(a、δ)上でつねに g(z)≠0 である。

(*3) S(a、δ)上で f(z)=(z−a)g(z)となる。

h(z)=1/g(z)とおく。

いま、h は S(a、δ)上で正則である。

また、1/f(z)=(z−a)−nh(z) (0<|z−a|<δ)である。

また、h(a)≠0 である。

つまり、a は 1/f の n 位の極である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

このとき、ある 0<δ<R が存在して、次が成り立つ。(※定義:極)

(**1) S(a、δ)上で正則な関数 g が存在する。

(**2) S(a、δ)上でつねに g(z)≠0 である。

(**3) S(a、δ)上で 1/f(z)=(z−a)−ng(z)となる。

ここで、h(z)=1/g(z)とおく。

いま、h は S(a、δ)上で正則である。

また、f(z)=(z−a)h(z) (0<|z−a|<δ)と書ける。

また、h(z)≠0 である。

つまり、a は f の n 位の零点である。