零点の位数(零点集合において零点は孤立点)

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定義 ( 零点 )

f:D→ を複素関数とする。

ある点 a∈D に対し、f(a)=0 となるとする。

このとき、a を 『 f の零点 』 という。

B3 ( 零点集合は孤立点のみから成る )

f:D→ を正則関数とする。

f≠0 とする。( つまり、f は恒等的には 0 でない )

a∈D を f の零点とする。

このとき、δ>0 を十分小さくとれば、S(a、δ)−{a}上に f の零点は存在しない。

補足

A を f の零点集合とする。

つまり、A は f の零点全体であるとする。

このとき、A の各点は A の孤立点であるということである。

証明

任意のε>0 に対して S(a、ε)−{a}上に f の零点が存在するとする。(背理法)

このとき、任意の n∈ に対し、ある z∈S(a、1/n)−{a}が存在して、f(z)=0 となる。

いま、|z−a|<1/n である。

よって、limn→∞=a である。

また、z≠a である。

よって、D上でつねに f(z)=0 である。(※B1:一致の定理)

これは定理の仮定に反する。

B4 ( 零点の位数 )

f:D→ を正則関数とする。

f≠0 とする。( つまり、f は恒等的には 0 でないとする )

a∈D を f の零点とする。

このとき、ある n∈ とδ>0 が存在して次が成り立つ。

(1) S(a、δ)上で正則な関数 g が存在する。

(2) S(a、δ)上でつねに g(z)≠0 である。

(3) S(a、δ)上で f(z)=(z−a)g(z)となる。

しかも、このような n と g は一意的に定まる。

この n を 『 a の位数 』 という。

補足

上では明示しなかったが、むろん、S(a、δ)⊂D となるようにとる。

証明

いま、f は点 a まわりでテイラー展開できる。

また、f(a)=0 である。

よって、f(z)=1≦n≦∞(z−a) と書ける。(※A19:テイラー展開)

ただし、c=f(n)(a)/n!(n≧1)である。

いま、f≠0 である。

よって、ある N∈ が存在して、f(k)(a)=0 (k=1、・・・、N−1)かつ f(N)(a)≠0 となる。

よって、f(z)=N≦n≦∞(z−a) である。

よって、f(z)=(z−a)1≦n≦∞N+n−1(z−a)n−1 である。

そこで、g(z)=1≦n≦∞N+n−1(z−a)n−1 とおく。

すると、f(z)=(z−a)g(z)である。

いま、g の収束半径は f と同じである。(※A14)

よって、g は S(a、δ)上で正則である。(※A17)

いま、g(a)=f(N)(a)/n!≠0 である。

また、g は連続である。(※複素解析:正則⇒連続)

よって、a の十分小さな近傍上で、つねに g(z)≠0 である。(※微分積分)

よって、δを十分小さく取りなおせば、S(a、δ)上でつねに g(z)≠0 である。

以上により、(1)〜(3)がすべて示された。

証明 ( 一意性について )

U を a の近傍とする。

U上で f(z)=(z−a)h(z)と書けるとする。

h は U 上で正則であるとする。

h は U 上でつねに h(z)≠0 であるとする。

いま、任意の z∈S(a、δ)に対して(z−a)h(z)=(z−a)g(z)である。

M>N と仮定する。(背理法)

このとき、z≠a ⇒(z−a)M−Nh(z)=g(z)である。

いま、上式の両辺は連続である。

よって、z→a とすると、0=g(a)である。

これは矛盾である。

同様に、M<N でも矛盾する。

よって、M=N である。

よって、g=h である。