ローラン展開はテイラー展開の一般化

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B16 ( テイラー展開 )

f を|z−a|<R上で正則な関数とする。

このとき、次が成り立つ。



ただし、



しかも、この展開は一意である。

上記のような展開を 『 f のテイラー展開 』 という。

補足

つまり、正則点まわりでは巾級数展開可能である。

証明

Γ(t)=a+reit (0≦t≦2π;0<r<R) とおく。

z∈Γint とおく。

いま、次が成り立つ。(※コーシーの積分公式)



ζ∈Γとおく。

いま、|z−a|<r=|ζ−a|である。

よって、|z−a|/|ζ−a|<1である。

よって、



よって、



いま、M=supζ∈Γ|f(ζ)|<∞ である。

また、



また、0≦n≦∞|z−a|/rn+1 は収束する。

よって、(*)の右辺の級数はΓ上で一様収束する。(※B4:Mテスト)

よって、次が成り立つ。(※B7:項別積分、グルサの定理)



また、一意性は明らかである。(※B15:巾級数展開の一意性)

B17 ( ローラン展開 )

f は R<|z−a|<R で正則であるとする。

このとき、次が成り立つ。



ただし、



また、この展開は一意的である。

上記のような展開を 『 f のローラン展開 』 という。

補足

既に示したように、正則点まわりで巾級数展開可能である。(※テイラー展開)

一方、今回は非正則点まわりでも巾級数展開可能である。

証明 ( 途中の証明は B16 と同じだが、改めて書いている )

<|z−a|<R とおく。

<r<|z−a|<r<R とおく。

Γ(t)=a+rit (0≦t≦2π;k=1、2) とおく。

z を、Γ とΓ に挟まれた円環領域に属する点とする。

δを十分小さくとれば、S(a、δ)⊂{ z∈|r<|z−a|<r } となる。

Γ(t)=z+δeit (0≦t≦2π) とおく。

いま、Γ の内部にΓとΓ が含まれている。

よって、次が成り立つ。(※複素解析:D3)



また、次が成り立つ。(※コーシーの積分公式)



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ζ∈RanΓ とおく。

つまり、|ζ−a|=r とおく。

いま、|z−a|<|ζ−a|である。

よって、|z−a|/|ζ−a|<1である。

よって、



よって、



また、M=sup|ζ−a|=r|f(ζ)|<∞ である。

また、



いま、0≦n≦∞|z−a|/rn+1 は収束する。

よって、(*2)の右辺は|ζ−a|=r上で一様収束する。(※B4:Mテスト)

よって、次が成り立つ。(※B7:項別積分、複素解析:D3)



(Γ や c は定理で定義されている式である )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(*3)と同様に、次のことが示される。



(*1)、(*3)、(*4)より、

証明(一意性について)

次のように書けたとする。



いま、上式の右辺は|z−a|=R ( R<R<R ) で一様収束する。

よって、次が成り立つ。(※B7:項別積分)



( 最後の式変形では、第1項と第2項のどちらか一方が必ず 0 になることに注意 )

よって、c=d である。

B18 ( ローラン展開はテイラー展開の一般化 )

B17 において、a が正則点ならばローラン展開はテイラー展開に一致する。

証明

明らかである。(※グルサの公式)