ルーシェ定理、フルヴィッツの定理

サイトのTOP→理系インデックス
続・複素解析のTOP→続・複素解析インデックス




C1 ( ルーシェの定理 )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

Γ⊂D を単純閉曲線とする。

Γint⊂D とする。

RanΓ上で|g|≦|f|であるとする。

このとき、N(Γint)=Nf+g(Γint)である。

補足

つまり、絶対値の意味で g が f よりも小さいならば、f に g を加えても零点の個数は変化しない。

証明

いま、RanΓ上で f(z)+g(z)=f(z)h(z)と書ける。

ただし、h(z)=1+g(z)/f(z)である。

よって、ΔΓarg(f+g)=ΔΓargf+ΔΓargh である。

いま、仮定より、RanΓ上で|h(z)−1|<1である。

つまり、0 は h*Γの外部に属する。

よって、W(h*Γ、0)=0 である。(※B7)

よって、ΔΓargh=0 である。(※B10)

よって、ΔΓarg(f+g)=ΔΓargf である。

よって、Nf+g(Γint)=N(Γint)である。(※B10)

C2 ( フルヴィッツの定理 )

:D→ を正則関数列とする。

(fn∈ は D 上で f に広義一様収束しているとする。

Γ⊂D を単純閉曲線とする。

Γint⊂D とする。

f はΓ上で零点をもたないとする。

このとき、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。

(*) n≧N ⇒ Nfn(Γint)=N(Γint

証明

いま、f はΓ上で零点をもたない。

よって、ある定数 c>0 が存在して、RanΓ上で|f(z)|≧c である。

いま、f(z)=f(z)+g(z)と書ける。

ただし、g(z)=f(z)−f(z)である。

いま、Γint は有界閉集合である。

よって、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。(※定義:広義一様収束)

(**) n≧N ⇒ 「 任意の z∈Γint に対して|g(z)|<c 」

よって、n≧N ⇒|g(z)|<|f(z)|である。

また、f は正則である。(※A15)

よって、n≧N ⇒ Nfn(Γint)=N(Γint)である。(※ルーシェの定理)