絶対収束級数は限定的に正項級数を演じる

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定義 ( 正項級数 )

各項が非負である級数を 『 正項級数 』 という。

正項級数は最も扱いやすい級数である。

定義 ( 絶対収束 )

1≦n≦∞ を級数とする。

1≦n≦∞|a|が収束するとする。

このとき、「 1≦n≦∞ は絶対収束する 」 という。

既に述べたように、正項級数は扱いやすい。

絶対収束級数は正項級数ではないが、疑似的に正項級数の理論を応用できるので扱いやすい。

P1

0≦n≦∞ を正項級数とする。

このとき、次は同値である。

(1) 0≦n≦∞ は収束する。

(2) 0≦n≦∞ の部分和がなす数列 S0≦k≦n が上に有界である。

証明

(1)⇒(2)は明らかである。

一方、よく知られているように、上に有界な数列は収束する。(※実数の連続性)

よって、(2)⇒(1)が成り立つ。

参考

上で示したように、正項級数は上に有界であれば収束する。

よって、正項級数 1≦n≦∞ が収束することを 1≦n≦∞<∞ と表すこともできる。

また、一般の級数 1≦n≦∞ に対し、その絶対収束を 1≦n≦∞|x|<∞ と表すこともできる。

ただし、級数の収束をこのように表すことは不自然である。

例えば、x=(−1) としたとき、1≦n≦∞ の部分和がなす数列は有界だが、級数は収束しない。

P2

正項級数の収束・発散は項の順番を入れ替えても変化しない。

とくに、収束する場合、その極限は変わらない。

証明

1≦n≦∞ を正項級数とする。

1≦k≦n とおく。

正項級数の極限を a とおく。

いま、任意の ε>0 に対し、ある N が存在して、n≧N ⇒ a−ε<S≦a である。(★1)

1≦n≦∞σ(n) を、項の順番を入れ替えた正項級数とする。

つまり、σ: は並べ替えである。

を十分大きくとると、{ 1、・・・、N }⊂{ σ(1)、・・・、σ(N) } である。

よって、S1≦n≦Nσ(n) である。(★2)

一方、ある N が存在して、{ σ(1)、・・・、σ(N) }⊂{ 1、・・・、N } である。

よって、1≦n≦Nσ(n)≦S≦a である。(★3)

いま、(★1)〜(★3)より、n≧N ⇒ a−ε<1≦k≦nσ(k)≦a である。

つまり、1≦n≦∞σ(n) は a へ収束する。

級数が発散する場合についても同様に示される。

P3 ( 絶対収束⇒収束 )

1≦n≦∞ を絶対収束する級数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 1≦n≦∞ は収束する。

(2) 項を入れ替えても 1≦n≦∞ の極限は変わらない。

(1)の証明

いま、1≦n≦∞|x|は収束する。

その極限を a≧0 とする。

ε>0 とおく。

いま、ある N∈ が存在して、p≧N ⇒ a−ε<1≦n≦p|x|≦a である。(★1)

1≦k≦n とおく。

いま、q>p≧N ⇒|S−S|<εである。

つまり、(S) はコーシー列である。

よく知られているように、実数においてコーシー列は収束する。(※微分積分)

よって、(S) は収束する。

つまり、1≦n≦∞ は収束する。

(2)の証明

(1)の証明の状況を引き継ぐ。

1≦n≦∞ の極限を y とする。

いま、p≧N⇒|S−y|=limq→∞|S−S|≦ε である。

絶対値の級数は正項級数である。

よって、項の順番を入れ替えても、級数の極限は変わらない。(※P2)

よって、(1)より、1≦n≦∞σ(n) も収束する。

を、この級数の第 p 項までの部分和とする。

いま、ある N が存在して、{ 1、・・・、N }⊂{ σ(1)、・・・、σ(N) } である。(★2)

明らかに、N≧N である。

まず、(★2)の集合について等号が成り立っている場合を考える。

いま、N=N であり、k>N に対し、σ(k)>N である。

よって、p≧N=N ⇒|R−S|≦+1≦k≦p|xσ(k)|<ε である。

次に、(★2)の集合が一致していない場合について考える。

J を、(★2)の右辺から左辺を引いた差集合とする。

J の任意の元は N より大きい。

よって、p≧N ⇒|R−S|≦k∈J|x|++1≦k≦p|xσ(k)|<ε である。

( J の元と N+1 以上の番号は、すべて N より大きいので、(★1)によって上式が成り立つ )

よって、p≧N ⇒|R−y|≦|R−S|+|S−y|≦2ε である。

つまり、1≦n≦∞σ(n) の極限も y である。