正則関数に関する逆写像定理

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定義 ( c点 )

f:D→ を関数とする。

c∈ とおく。

ある点 z∈D が存在して、f(z)=c となるとする。

このとき、z を 『 f の c 点 』 という。

C8

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

f≠0 とする。

( つまり、f は D 上で恒等的には 0 でないとする )

f は点 a∈D で n 位の零点をもつとする。

このとき、ある r、ρ>0 が存在して、次が成り立つ。

(*) 任意の c∈S(0、ρ)に対し、S(a、r)における f の c 点の個数は n である。

証明

g(z)=n+1≦k≦∞(k)(a)(z−a)/k!とおく。

いま、点 a の位数は n である。

よって、f(z)=c(z−a)+g(z)の形で書ける。(※A19:テイラー展開)

( むろん、c=f(n)(a)/n!≠0 である )

いま、limz→ag(z)/(c(z−a))=0 である。

よって、十分に小さい r をとると、次が成り立つ。

(*1) 0<|z−a|≦r ⇒ φ(z)/(c(z−a))<1

とくに、

(*2) |z−a|=r ⇒|c(z−a)|−|φ(z)|>0

いま、(*2)の左辺は有界閉集合|z−a|=r 上で連続である。

よって、正の最小値をもつ。

そこで、これをρとおく。

このとき、

(*3) |z−a|=r ⇒|c(z−a)|≧|φ(z)|+ρ

c∈S(0、ρ)とおく。

このとき、

(*4) |z−a|=r ⇒|c(z−a)|≧|φ(z)|+ρ>|φ(z)|+|c|≧|φ(z)−c|

また、f(z)−c=c(z−a)+(φ(z)−c)である。

よって、Nf(z−c)=N(z−a) である。(※ルーシェの定理)

一方、c=f(n)(a)/n!≠0 である。

よって、c(z−a) の零点の個数は n である。

つまり、N(z−a)=n である。

よって、Nf(z−c)=n である。

C9 ( C8 の一般化 )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

f は定値ではないとする。

f は点 a∈D で n 位の c 点をもつとする。

このとき、ある r、ρ>0 が存在して、次を満たす。

(*) 任意の c∈S(c、ρ)に対して S(a、r)に含まれる f の c 点の個数は n である。

証明

g(z)=f(z)−c とおく。

いま、g は z=a で n 位の零点をもつ。

よって、ある r、ρ>0 が存在して、次が成り立つ。(※C8)

(*) 任意の c∈S(0、ρ)に対し、S(a、r)における g の c点の個数は n である。

よって、任意の c∈S(0、ρ)に対し、S(a、r)における f の(c+c)点の個数は n である。(★1)

また、|(c+c)−c|=|c|<ρである。

よって、c+c∈S(c、ρ)である。(★2)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c∈S(c、ρ)とおく。

=c−c とおく。

このとき、c∈S(0、ρ)である。

つまり、任意の c∈S(c、ρ)は c=c+c ( c∈S(0、ρ) )の形で書ける。(★3)

(★2)、(★3)より、S(c、ρ)=c+S(0、ρ)である。←明らかとしてもよいのでは?

よって、(★1)より、任意の点 c∈S(c、ρ)に対して S(a、r)における f の c 点の個数は n である。

定義 ( 開写像 )

f:D→ を関数とする。

任意の開集合 O⊂D に対し、f(O)⊂ も開集合になるとする。

このとき、f を 『 開写像 』 という。

C10

f:D→ を単射な開写像とする。

このとき、f−1 は連続である。

補足

これは位相空間論でもよく知られている。

証明

いま、D は開集合である。

よって、f(D)は開集合である。

∈f(D)とおく。

このとき、ある z∈D が存在して、w=f(z)となる。

よって、z=f−1(w)である。

いま、あるε>0 が存在して、S(z、ε)⊂D となる。

また、f(S(z、ε))は f(D)の開集合である。

よって、あるδ>0 が存在して、S(w、δ)⊂f(S(z、ε))となる。

よって、|w−w|<δ⇒ w∈f(S(z、ε))である。

よって、|w−w|<δ⇒|f−1(w)−f−1(w)|<εである。

つまり、f−1 は w で連続である。

∈f(D)は任意であるから、f−1 は f(D)上で連続である。

C11 ( 開写像定理 )

D を の領域とする。

f:D→ を正則関数とする。

f は定値でないとする。

このとき、f は開写像である。

証明

O⊂D を開集合とする。

∈f(O)とおく。

いま、ある点 a∈O が存在して、f(a)=c となる。

つまり、a は f の c 点である。

この c 点の位数を n とする。

いま、ある r、ρ>0 が存在して、次が成り立つ。(※C9)

(*) 任意の c∈S(c、ρ)に対し、S(a、r)⊂O における f の c 点の個数は n である。

c∈S(c、ρ)とおく。

このとき、(*)より、ある z∈S(a、r)が存在して、c=f(z)となる。

よって、c∈f(D)である。

以上により、S(c、ρ)⊂f(D)である。

よって、f(D)は開集合である。

C12 ( 正則関数に関する逆写像定理 )

f は点 a∈ の近傍 U 上で正則であるとする。

f’(a)≠0 であるとする。

このとき、ある S(a、δ)⊂U が存在して、次が成り立つ。

(1) f は S(a、δ)上で単射である。

(2) f−1 は正則である。

(3) 任意の w∈f(S(a、δ))に対して次が成り立つ。

補足

つまり、点 a∈ の近傍で f’(a)≠0 ならば、f は点 a の十分に小さな近傍で単葉である。

つまり、これは狭い意味で C3 の逆である。

証明

=f(a)とおく。

いま、f は U 上で正則である。

よって、次のように展開できる。(※A19:テイラー展開)



いま、g(a)=0 である。

また、g は U 上で正則である。

よって、g は U 上で連続である。

よって、任意の 0<ε<|f’(a)|に対して次が成り立つ。

(*1) ある r>0 が存在して、|z−a|<r⇒|g(z)|<ε

これは S(a、r)において f の c 点が z=a だけであることを意味する。

( これは(*1)に注意しつつ、f(z)の式に注目すれば分かる )

よって、r、ρ>0 が存在して、次が成り立つ。(※C9)

(*2) S(a、r)⊂S(a、r

(*3) 任意の c∈S(c、ρ)に対し、S(a、r)における f の c 点は唯1つである。

いま、f は連続である。

よって、あるδ>0 が存在して、f(S(a、δ))⊂S(c、ρ)となる。

δ>0 を十分に小さくとれば、S(a、δ)⊂S(a、r)となる。

よって、(*3)より、f:S(a、δ)→f(S(a、δ))は全単射である。

よって、f(S(a、δ))は開集合である。(※C11)

また、f−1:f(S(a、δ))→ は連続である。(※C10)

よって、limh→0(f−1(w+h)−f−1(w))=0 である。

k=f−1(w+h)−f−1(w)とおく。

z=f−1(w)とおく。

このとき、h=f(z+k)−f(z)である。

よって、