コンパクト一様収束

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参考

既に、各点収束と一様収束を扱った。

しかし、各点収束は弱すぎる。

実際、連続関数列の極限が連続関数になるとは限らない。

一方、一様収束は強すぎる。

実際、点に依存しない N を見つけることが困難である。

そこで、コンパクト一様収束というものを考える。

これは、各点収束と一様収束の中間に位置する。

定義 ( コンパクト一様収束 )

:D→ を関数列とする。

任意のコンパクト集合 K⊂D 上で、f は一様収束するとする。(★)

このとき、「(fn∈ は D 上でコンパクト一様収束する 」 という。

(★)を次のように言い換えても意味は同じである。

「 D内の任意の点の近傍上で、f は一様収束する 」

なぜなら、D内のコンパクト集合は、D内の有限個の開円板で被覆できるからである。

この言い換えはすぐ下の定理の証明で使用する。

つまり、コンパクト一様収束は限定的に一様収束を演じる。

参考

0≦n≦∞ を巾級数とする。

R をその収束半径とする。

(z)=0≦k≦n と定義する。

このとき、S(z)は|z−0|<R 上で一様収束するとは限らない。

ただし、S(z)は|z−0|<R 上でコンパクト一様収束する。(※B8)

B9 ( 一様収束 ⇒ コンパクト一様収束 ⇒ 各点収束 )

複素関数列について次が成り立つ。

(1) 一様収束 ⇒ コンパクト一様収束

(2) コンパクト一様収束 ⇒ 各点収束

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかに、一点集合はコンパクトである。

よって、明らかである。

B10 ( 連続性はコンパクト一様収束の極限に遺伝する )

:D→ を連続関数列とする。

(fn∈ は f にコンパクト一様収束するとする。

このとき、f は D 上で連続である。

証明

z∈D とおく。

いま、f(z、ε)上で一様収束する。

よって、f は (z、ε)上で連続である。(※B2)

また、点 z は任意である。

よって、f は D 上で連続である。

B11 ( コンパクト一様絶対収束 ⇒ コンパクト一様収束 )

:D→ を関数列とする。

1≦k≦∞ は D 上でコンパクト一様絶対収束するとする。

このとき、1≦k≦∞ はコンパクト一様収束する。

証明

z∈D とおく。

1点集合はコンパクト集合である。

よって、1≦k≦∞(z)は絶対収束する。

よって、1≦k≦∞(z) は収束する。(※A9)

そこで、f:D→ を f(z)=1≦k≦∞(z)で定義する。

K を D 内のコンパクト集合とする。

いま、1≦k≦∞|f(z)|は、ある関数 g に K 上で一様収束する。

よって、任意のε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、



m>n≧N とすると、



よって、m→∞ とすれば、



つまり、1≦k≦∞ は一様収束する。

B12 ( 正則性はコンパクト一様収束の極限に遺伝する )

:D→ を正則関数列とする。( D は の領域であるとする )

(fn∈ は D 上で f にコンパクト一様収束するとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f も D 上で正則である。

(2) 導関数の列(f’)n∈ は D 上で f’にコンパクト一様収束する。

(1)の証明

α∈D とおく。

r>0 を十分小とすると、(α、r)⊂D である。

いま、次が成り立つ。(※コーシーの積分公式)



z∈S(α、r) とおく。

いま、(fn∈(α、r) 上で f に一様収束する。(★)

よって、f(ζ)/(ζ−z) は f(ζ)/(ζ−z) に ∂S(α、r) 上で一様収束する。

よって、次が成り立つ。(※B6)



(*1)、(★)、(*2) より、



いま、z∈S(α、r) は任意である。

つまり、f は S(α、r) 上で正則である。(※複素解析:D10(コーシーの積分公式の逆))

いま、α∈D は任意である。

つまり、f は D 上で正則である。

(2)の証明

Γ(t)=a+reit (0≦t≦2π) とおく。

r を十分に小さくとり、(a、r)⊂D であるとする。

いま、次が成り立つ。(※コーシーの積分公式)



いま、



つまり、f(z)/(z−a) はΓ上で f(z)/(z−a) に一様収束する。

よって、次が成り立つ。(※B6)



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

|w−a|<r/2 とおく。

いま、任意のζ∈RanΓに対して|ζ−w|≧r/2 である。

よって、



よって、



よって、(f’)n∈ は f’にコンパクト一様収束する。(※定義:コンパクト一様収束の補足)