単葉関数

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参考

前のページでは 『 ルーシェの定理 』 と 『 フルヴィッツの定理 』 を示した。

早速、これらの定理を用いて単葉関数の性質を調べてみよう。

この 『 単葉性 』 は後で登場する 『 等角性 』 と本質的に同じものである。

定義 ( 単葉関数 )

単射な正則関数を 『 単葉関数 』 という。

C3

D を の領域とする。

f:D→ を単葉関数とする。

このとき、任意の z∈D に対して f’(z)≠0 である。

証明

ある点 a∈D に対して f’(a)=0 であるとする。(背理法)

このとき、あるρ>0 が存在して、次のように巾級数展開できる。(※A19:テイラー展開)

(*) |z−ρ|<ρ⇒ f(z)=ck≦n≦∞(z−a)

ただし、c=f(a)、c=f(n)(a)/n!、k≧2、c≠0 である。

ここで、g(z)=ck+1≦n≦∞(z−a)n−k とおく。

このとき、f(z)−c=(z−a)g(z)と書ける。

いま、g(a)=c≠0 である。

よって、あるδ∈(0、ρ)が存在して、g=inf|z−a|≦δ|g(z)|>0 となる。

よって、|z−a|<δ⇒|f(z)−c|≧δ>0 である。

そこで、Γδ(t)=a+δeit (0≦t≦2π)とおく。

このとき、



上式は Nf(z)−c(|z−a|<δ)=k を意味する。(※E1の2つ目の補足)

=inf|z−a|=δ|f(z)−c|とおく。

c∈ とおく。

|c−c|<f かつ c≠c とする。

いま、|z−a|<δ⇒|c−c|<|f(z)−c|である。

また、f(z)−c=(f(z)−c)+(c−c)と書ける。

よって、Nf(z)−c(|z−a|<δ)=k である。(※ルーシェの定理)

δを十分に小さくとれば、0<|z−a|<δに f’(z)の零点は存在しない。

よって、|z−a|<δにおける f(z)−c の零点の位数はすべて1である。(※B4:零点の位数)

よって、|z−a|<δには f(z)−c の位数1の零点が k 個存在する。

つまり、ある点 z、・・・、z が存在して、f(z)=c、・・・、f(z)=c となる。

しかし、これは f が単射であるという仮定に矛盾する。

C4 ( 単葉性は広義一様収束の極限に遺伝する )

D を の領域とする。

:D→ を単葉関数列とする。

(fn∈ は D 上で f に広義一様収束するとする。

f は定数ではないとする。

このとき、f は D 上で単葉である。

証明

正則性が遺伝することは既に示した。(※A15)

f が単葉でないと仮定する。(背理法)

いま、ある z、z∈D が存在して、z≠z かつ f(z)=f(z)となる。

また、あるδ>0 が存在して、S(z、δ)⊂D、S(z、δ)⊂D、S(z、δ)∩S(z、δ)=φとなる。(★)

ここで、a=f(z)(=f(z))とおく。

いま、f−a は S(z、δ)と S(z、δ)において少なくとも1個ずつ零点をもつ。

よって、ある N∈ が存在して、次が成り立つ。(※フルヴィッツの定理)

(*) n≧N ⇒ f−a は S(z、δ)と S(z、δ)において少なくとも1個ずつ零点をもつ。

そこで、それぞれ z(n)、z(n) とおく。

このとき、f(z(n))=f(z(n))である。

しかし、(★)より、z(n)≠z(n) である。

これは f が単葉であるという仮定に反する。